Resolva o sistema linear:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
pelo método de Gauss-Seidel com x^(0)=(l0 0 0) e varepsilon=5 times 10^-2.

Passo 1

Beleza, temos o seguinte sistema linear 3×3 e queremos resolvê-lo usando o método iterativo de Gauss-Seidel.
Conteúdo: método de Gauss-Seidel e critério de parada baseado na diferença entre iterações.
O que vamos precisar:
  1. Reescrever cada equação isolando a incógnita da diagonal (a₁₁, a₂₂, a₃₃).
  2. Usar a fórmula de iteração
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumjiaijxj^(k)r)
  1. Começar com e parar quando
    .

Passo 2

Primeiro, isolamos cada incógnita:

  1. .

  2. .


  3. Esse é o esquema de Gauss-Seidel: em cada iteração usamos já os valores mais novos de e para calcular .

Passo 3

Iteração 1 ( x1^(1)&=5 - 0 - 05=1, x2^(1)&=6 -3cdot1 - 04=34=0.75, x3^(1)&=-3cdot1 +3cdot0.756 =-3+2.256=-0.875 →1), com :
Diferença infinita . Continua.

Passo 4

Iteração 2 ( x1^(2)&=5 -0.75 -(-0.875)5 =5+0.1255=1.025, x2^(2)&=6 -3cdot1.025 -(-0.875)4 =6 -3.075 +0.8754=3.84=0.95, x3^(2)&=-3cdot1.025+3cdot0.956 =-3.075+2.856=-0.9875 →2):
Diferença . Ainda não paramos.

Passo 5

Iteração 3 ( x1^(3)&=5 -0.95 -(-0.9875)5 =5+0.03755=1.0075, x2^(3)&=6 -3cdot1.0075 -(-0.9875)4 =6 -3.0225 +0.98754=3.9654=0.99125, x3^(3)&=-3cdot1.0075+3cdot0.991256 =-3.0225+2.973756=-0.999375 →3):
Agora
.
O critério de parada foi satisfeito!

Resposta

A aproximação obtida é
xapproxl(1.0075,;0.99125,;-0.999375r)^T

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