Informações relevantes que temos: é uma matriz quadrada 3\times3. A tarefa é escrever A (ou uma permutação de A) como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Não há outras informações fornecidas pelo enunciado.]
Passo 2
Breve explicação do que é uma fatoração LU (aula rápida e prática).
Queremos escrever (se possível)
A=LU,
onde L é triangular inferior com 1s na diagonal (forma de Doolittle) e U é triangular superior. O procedimento prático usa eliminação de Gauss: para zerar entradas abaixo do pivô u_{11} usamos multiplicadores
\ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}},
que viram elementos da coluna 1 de L. Depois obtemos a primeira linha de U igual à primeira linha de A e atualizamos as linhas abaixo. Repetimos para os próximos pivôs u_{22},u_{33},\dots. Um detalhe importante: se em algum passo o pivô u_{kk}=0, não conseguimos continuar sem trocar linhas (isto é, sem usar permutação). Nesse caso existe uma fatoração PA=LU com uma matriz de permutação P.
Passo 3
Começo a eliminação aplicando Doolittle diretamente em A. A primeira linha de U será a primeira linha de A:
Aqui percebemos que o segundo pivô proposto seria u_{22}=0. Isso impede continuar a fatoração A=LU sem trocar linhas, porque dividiríamos por zero ao tentar calcular \ell_{32}=\frac{a'_{32}}{u_{22}}. Portanto a fatoração A=LU sem permutar linhas NÃO é possível com este procedimento — precisamos trocar as linhas 2 e 3 (isto é, usar permutação parcial).
Passo 5
Introduzo a matriz de permutação que troca as linhas 2 e 3:
Podemos checar rapidamente que LU=PA (multiplicação confirma os valores obtidos nos passos anteriores). Portanto a fatoração pedida é do tipo com permutação: PA=LU. Em resumo: não existe fatoração A=LU sem trocar linhas; existe fatoração com permutação PA=LU usando P acima.]