Decomponha, se possível, as matrizes abaixo utilizando fatoração LU.
\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 1 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: decompor, se possível, a matriz abaixo usando fatoração LU.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\[4pt] 3 & 3 & 2 \\[4pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: é uma matriz quadrada 3\times3. A tarefa é escrever A (ou uma permutação de A) como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Não há outras informações fornecidas pelo enunciado.]

Passo 2

Breve explicação do que é uma fatoração LU (aula rápida e prática).
Queremos escrever (se possível)
A=LU,
onde L é triangular inferior com 1s na diagonal (forma de Doolittle) e U é triangular superior. O procedimento prático usa eliminação de Gauss: para zerar entradas abaixo do pivô u_{11} usamos multiplicadores
\ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}},
que viram elementos da coluna 1 de L. Depois obtemos a primeira linha de U igual à primeira linha de A e atualizamos as linhas abaixo. Repetimos para os próximos pivôs u_{22},u_{33},\dots. Um detalhe importante: se em algum passo o pivô u_{kk}=0, não conseguimos continuar sem trocar linhas (isto é, sem usar permutação). Nesse caso existe uma fatoração PA=LU com uma matriz de permutação P.

Passo 3

Começo a eliminação aplicando Doolittle diretamente em A. A primeira linha de U será a primeira linha de A:
u_{11}=2,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=1.
Calculamos os multiplicadores da coluna 1:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{3}{2},\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Zeramos abaixo do pivô usando esses multiplicadores. Para a linha 2:
\text{linha}_2'=\text{linha}_2-\ell_{21}\cdot\text{linha}_1 =\begin{pmatrix}3&3&2\end{pmatrix}-\frac{3}{2}\begin{pmatrix}2&2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0&\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Para a linha 3:
\text{linha}_3'=\text{linha}_3-\ell_{31}\cdot\text{linha}_1 =\begin{pmatrix}3&2&1\end{pmatrix}-\frac{3}{2}\begin{pmatrix}2&2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-1&-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Logo, após o primeiro passo temos submatriz de trabalho cujas primeiras colunas são:
\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \\\\ 0 & -1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Aqui percebemos que o segundo pivô proposto seria u_{22}=0. Isso impede continuar a fatoração A=LU sem trocar linhas, porque dividiríamos por zero ao tentar calcular \ell_{32}=\frac{a'_{32}}{u_{22}}. Portanto a fatoração A=LU sem permutar linhas NÃO é possível com este procedimento — precisamos trocar as linhas 2 e 3 (isto é, usar permutação parcial).

Passo 5

Introduzo a matriz de permutação que troca as linhas 2 e 3:
P=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}.
Multiplicando P por A trocamos as linhas 2 e 3 de A:
PA=\begin{pmatrix}2&2&1\\[4pt]3&2&1\\[4pt]3&3&2\end{pmatrix}.
Agora tentaremos fatorar PA como LU sem mais permutações.]

Passo 6

Aplicando Doolittle a PA. A primeira linha de U é a primeira linha de PA:
u_{11}=2,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=1.
Multiplicadores da coluna 1 (novamente):
\ell_{21}=\frac{3}{2},\qquad \ell_{31}=\frac{3}{2}.
Eliminação nas linhas 2 e 3 de PA:
linha 2 (nova):
\begin{pmatrix}3&2&1\end{pmatrix}-\frac{3}{2}\begin{pmatrix}2&2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-1&-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
linha 3 (nova):
\begin{pmatrix}3&3&2\end{pmatrix}-\frac{3}{2}\begin{pmatrix}2&2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0&\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Agora o segundo pivô é
u_{22}=-1\quad(\text{não nulo}),ã
podemos continuar. Calculamos
\ell_{32}=\frac{a'_{32}}{u_{22}}=\frac{0}{-1}=0.
Eliminando com \ell_{32}=0 deixa a terceira linha como
\begin{pmatrix}0&0&\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
logo
u_{33}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Escrevemos as matrizes L e U obtidas (com L tendo 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{2} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Podemos checar rapidamente que LU=PA (multiplicação confirma os valores obtidos nos passos anteriores). Portanto a fatoração pedida é do tipo com permutação: PA=LU. Em resumo: não existe fatoração A=LU sem trocar linhas; existe fatoração com permutação PA=LU usando P acima.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]\tfrac{3}{2} & 1 & 0\\[4pt]\tfrac{3}{2} & 0 & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\[4pt]0 & -1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 0 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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