Considere os pontos conhecidos a seguir:
x
0
1
2
3
y
0
3.8415
6.9093
9.1411
(a) (0.5) Faça a tabela das diferenças divididas com todos os pontos.
(b) (0.5) Construa o polinômio interpolador de Newton com todos os pontos.
(c) (1.0) Estime o valor da função no ponto 0.5 por meio de uma reta e estime o erro da interpolação.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 0 | 3.8415 | 6.9093 | 9.1411 |
(b) (0.5) Construa o polinômio interpolador de Newton com todos os pontos.
(c) (1.0) Estime o valor da função no ponto 0.5 por meio de uma reta e estime o erro da interpolação.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos conhecidos e pede três coisas:
- Dados:
e . - (a) Fazer a tabela das diferenças divididas com todos os pontos.
- (b) Construir o polinômio interpolador de Newton usando todos os pontos (grau 3).
- (c) Estimar
por meio de uma reta (interpolação linear) e estimar o erro desta interpolação.
Passo 2
Definição e ideia das diferenças divididas (aulas rápidas):
- A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos
e é
Ela é a inclinação da reta que passa pelos pontos.
- A diferença dividida de ordem superior é definida recursivamente, por exemplo
e assim por diante. Essas diferenças aparecem como coeficientes no polinômio de Newton.
Vou calcular todas as diferenças divididas necessárias, passo a passo, usando os pontos dados.
Passo 3
Cálculo das diferenças divididas de primeira ordem (cada divisão indicada):
Cálculo das diferenças divididas de segunda ordem:
Cálculo da diferença dividida de terceira ordem:
Tabela triangular (apenas os valores calculados):
Esses valores são os coeficientes que usaremos no polinômio de Newton.]
Passo 4
Fórmula do polinômio de Newton (explicação):
O polinômio interpolador de grau até 3 construído na forma de Newton é
O polinômio interpolador de grau até 3 construído na forma de Newton é
Cada coeficiente
é uma diferença dividida calculada acima; os fatores
criam os termos de ordem crescente. Essa forma é prática porque, se acrescentarmos pontos, só precisamos calcular novas diferenças divididas e um novo fator.
Substituindo os valores obtidos:
Passo 5
Expansão (opcional, mas útil para ver os coeficientes em potências de
):
Primeiro expando os fatores:
Primeiro expando os fatores:
Multiplicando pelos coeficientes e somando os termos:
Somando numericamente os coeficientes:
(Arredondei os coeficientes para um número adequado de casas; a forma de Newton apresentada antes é suficiente e usual em exame.)]
Passo 6
Interpretação da parte (c) — estimativa por uma reta e estimativa do erro:
- “Por meio de uma reta” normalmente significa usar a interpolação linear entre os pontos mais próximos; faz sentido usar os pontos
e . A reta de interpolação é
- Avaliando em
:
Passo 7
Estimativa do erro da interpolação linear (explicação e cálculo):
- Fórmula teórica do erro para interpolação de grau
(reta) é
para algum
no intervalo que contém os nós. Não conhecemos
diretamente, mas a diferença dividida de segunda ordem
é igual a
para algum
no intervalo
. Assim podemos usar
como uma aproximação de
.
- Usando
e avaliando o termo em :
Logo a estimativa do erro é
Interpretação: o sinal positivo indica que a reta subestimou a função naquele ponto, então o valor verdadeiro (estimado por essa correção) é
Resposta
(a) Tabela das diferenças divididas:
(b) Polinômio interpolador de Newton (forma de Newton e forma expandida):
(c) Estimativa por reta em
e erro estimado: