Considere os pontos conhecidos a seguir:
x 0 1 2 3
y 0 3.8415 6.9093 9.1411
(a) (0.5) Faça a tabela das diferenças divididas com todos os pontos.
(b) (0.5) Construa o polinômio interpolador de Newton com todos os pontos.
(c) (1.0) Estime o valor da função no ponto 0.5 por meio de uma reta e estime o erro da interpolação.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos conhecidos e pede três coisas:
  • Dados: x_0=0,\;x_1=1,\;x_2=2,\;x_3=3 e f(x_0)=0,\;f(x_1)=3{,}8415,\;f(x_2)=6{,}9093,\;f(x_3)=9{,}1411.
  • (a) Fazer a tabela das diferenças divididas com todos os pontos.
  • (b) Construir o polinômio interpolador de Newton usando todos os pontos (grau 3).
  • (c) Estimar f(0{,}5) por meio de uma reta (interpolação linear) e estimar o erro desta interpolação.

Passo 2

Definição e ideia das diferenças divididas (aulas rápidas):
  • A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos x_i e x_j é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}.
Ela é a inclinação da reta que passa pelos pontos.
  • A diferença dividida de ordem superior é definida recursivamente, por exemplo
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i},
e assim por diante. Essas diferenças aparecem como coeficientes no polinômio de Newton.
Vou calcular todas as diferenças divididas necessárias, passo a passo, usando os pontos dados.

Passo 3

Cálculo das diferenças divididas de primeira ordem (cada divisão indicada):
\begin{aligned} f[x_0,x_1]&=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{1-0}=\frac{3{,}8415-0}{1}=3{,}8415,\\[4pt] f[x_1,x_2]&=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{2-1}=\frac{6{,}9093-3{,}8415}{1}=3{,}0678,\\[4pt] f[x_2,x_3]&=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{3-2}=\frac{9{,}1411-6{,}9093}{1}=2{,}2318. \end{aligned}
Cálculo das diferenças divididas de segunda ordem:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2]&=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{2-0}=\frac{3{,}0678-3{,}8415}{2}=\frac{-0{,}7737}{2}=-0{,}38685,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3]&=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{3-1}=\frac{2{,}2318-3{,}0678}{2}=\frac{-0{,}8360}{2}=-0{,}4180. \end{aligned}
Cálculo da diferença dividida de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{3-0}=\frac{-0{,}4180-(-0{,}38685)}{3}=\frac{-0{,}03115}{3}=-0{,}0103833\ldots
Tabela triangular (apenas os valores calculados):
\begin{array}{c|cccc} x & f & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f[x_0,x_1,x_2,x_3] \\\ \hline 0 & 0 & 3{,}8415 & -0{,}38685 & -0{,}0103833\ldots\\\\ 1 & 3{,}8415 & 3{,}0678 & -0{,}4180 & \\\\ 2 & 6{,}9093 & 2{,}2318 & & \\\\ 3 & 9{,}1411 & & & \end{array}
Esses valores são os coeficientes que usaremos no polinômio de Newton.]

Passo 4

Fórmula do polinômio de Newton (explicação):
O polinômio interpolador de grau até 3 construído na forma de Newton é
P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Cada coeficiente f[\cdots] é uma diferença dividida calculada acima; os fatores (x-x_i) criam os termos de ordem crescente. Essa forma é prática porque, se acrescentarmos pontos, só precisamos calcular novas diferenças divididas e um novo fator.
Substituindo os valores obtidos:
\begin{aligned} P_3(x)=\; &0 + 3{,}8415\,(x-0) \\\ &\; + (-0{,}38685)\,(x-0)(x-1) \\\ &\; + (-0{,}0103833)\,(x-0)(x-1)(x-2). \end{aligned}

Passo 5

Expansão (opcional, mas útil para ver os coeficientes em potências de x):
Primeiro expando os fatores:
(x-0)(x-1)=x^2-x,
(x-0)(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x.
Multiplicando pelos coeficientes e somando os termos:
\begin{aligned} P_3(x)&=3{,}8415\,x -0{,}38685\,(x^2-x) -0{,}0103833\,(x^3-3x^2+2x)\\[4pt] &=-0{,}0103833\,x^3 +(-0{,}38685+0{,}03115)\,x^2 +(3{,}8415+0{,}38685-0{,}0207666)\,x. \end{aligned}
Somando numericamente os coeficientes:
P_3(x)=-0{,}0103833\,x^3 -0{,}3557\,x^2 +4{,}2075833\,x.
(Arredondei os coeficientes para um número adequado de casas; a forma de Newton apresentada antes é suficiente e usual em exame.)]

Passo 6

Interpretação da parte (c) — estimativa por uma reta e estimativa do erro:
  • “Por meio de uma reta” normalmente significa usar a interpolação linear entre os pontos mais próximos; faz sentido usar os pontos x_0=0 e x_1=1. A reta de interpolação é
L(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)=3{,}8415\,x.
  • Avaliando em x=0{,}5:
L(0{,}5)=3{,}8415\cdot 0{,}5=1{,}92075.

Passo 7

Estimativa do erro da interpolação linear (explicação e cálculo):
  • Fórmula teórica do erro para interpolação de grau 1 (reta) é
R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}\,(x-x_0)(x-x_1)
para algum \xi no intervalo que contém os nós. Não conhecemos f''(\xi) diretamente, mas a diferença dividida de segunda ordem f[x_0,x_1,x_2] é igual a \dfrac{f''(\eta)}{2} para algum \eta no intervalo [x_0,x_2]. Assim podemos usar f[x_0,x_1,x_2] como uma aproximação de \dfrac{f''(\xi)}{2}.
  • Usando f[x_0,x_1,x_2]=-0{,}38685 e avaliando o termo (x-x_0)(x-x_1) em x=0{,}5:
(0{,}5-0)(0{,}5-1)=0{,}5\cdot(-0{,}5)=-0{,}25.
Logo a estimativa do erro é
R_1(0{,}5)\approx f[x_0,x_1,x_2]\cdot(-0{,}25)=-0{,}38685\cdot(-0{,}25)=0{,}0967125.
Interpretação: o sinal positivo indica que a reta subestimou a função naquele ponto, então o valor verdadeiro (estimado por essa correção) é
f(0{,}5)\approx L(0{,}5)+R_1(0{,}5)=1{,}92075+0{,}0967125=2{,}0174625.

Resposta

(a) Tabela das diferenças divididas:
\begin{array}{c|cccc} x & f & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f[x_0,x_1,x_2,x_3] \\\ \hline 0 & 0 & 3{,}8415 & -0{,}38685 & -0{,}0103833\ldots\\\\ 1 & 3{,}8415 & 3{,}0678 & -0{,}4180 & \\\\ 2 & 6{,}9093 & 2{,}2318 & & \\\\ 3 & 9{,}1411 & & & \end{array}
(b) Polinômio interpolador de Newton (forma de Newton e forma expandida):
P_3(x)=0+3{,}8415\,(x-0)-0{,}38685\,(x-0)(x-1)-0{,}0103833\,(x-0)(x-1)(x-2)
\text{(forma expandida)}\quad P_3(x)=-0{,}0103833\,x^3-0{,}3557\,x^2+4{,}2075833\,x.
(c) Estimativa por reta em x=0{,}5 e erro estimado:
L(0{,}5)=3{,}8415\cdot0{,}5=1{,}92075,
\text{Erro estimado }R_1(0{,}5)\approx f[x_0,x_1,x_2]\cdot(0{,}5-0)(0{,}5-1)= -0{,}38685\cdot(-0{,}25)=0{,}0967125,
\text{Portanto }f(0{,}5)\approx 1{,}92075+0{,}0967125=2{,}0174625.

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