(2.0) A função \cos (x)+2 é definida pelos pontos a seguir:
x
-1
0
1
2
3
y
2.5403
3.0000
2.5403
1.5839
1.0100
Faça a interpolação pelo método de Lagrange, utilizando todos os pontos, e estime o valor para o ponto x=2.5 Calcule o erro absoluto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: estimar o valor da função \cos(x)+2 em x=2{,}5 usando interpolação polinomial de Lagrange com todos os pontos fornecidos e calcular o erro absoluto dessa estimativa.
Pontos fornecidos (retirei os dados diretamente da tabela do enunciado):
Explicando as cartas: x é o ponto onde queremos avaliar o polinômio (aqui x=2{,}5); x_i são as abscissas dos pontos dados; y_i são as ordenadas (valores da função nesses x_i). O produto acima multiplica, para cada j\ne i, o fator (x-x_j)/(x_i-x_j). Cada L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i, por isso P interpola os pontos.
Passo 3
Calculo os denominadores constantes d_i=\prod_{j\ne i}(x_i-x_j) (são só números, servem para os L_i):
Verificação rápida (propriedade): \sum_{i=0}^4 L_i(2{,}5)=-0{,}0390625+0{,}21875-0{,}546875+1{,}09375+0{,}2734375=1. Isso é bom — indica que não houve erro aritmético grosseiro.]
Passo 6
Calculo P(2{,}5)=\sum_{i=0}^4 y_i L_i(2{,}5). Faço produto por produto (vou mostrar com 9 casas decimais quando necessário para transparência):