(2.0) A função \cos (x)+2 é definida pelos pontos a seguir:
x -1 0 1 2 3
y 2.5403 3.0000 2.5403 1.5839 1.0100
Faça a interpolação pelo método de Lagrange, utilizando todos os pontos, e estime o valor para o ponto x=2.5 Calcule o erro absoluto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: estimar o valor da função \cos(x)+2 em x=2{,}5 usando interpolação polinomial de Lagrange com todos os pontos fornecidos e calcular o erro absoluto dessa estimativa.
Pontos fornecidos (retirei os dados diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline x_i & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\\ y_i & 2{,}5403 & 3{,}0000 & 2{,}5403 & 1{,}5839 & 1{,}0100 \end{array}
Queremos:
  • estimar P(2{,}5), onde P é o polinômio de Lagrange de grau 4 que interpola os pontos (x_i,y_i);
  • calcular o erro absoluto \big|P(2{,}5)-\big(\cos(2{,}5)+2\big)\big|.

Passo 2

Apresento a fórmula geral do polinômio de Lagrange (aula rápida e direta):
P(x)=\sum_{i=0}^{4} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio básico L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{4}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando as cartas: x é o ponto onde queremos avaliar o polinômio (aqui x=2{,}5); x_i são as abscissas dos pontos dados; y_i são as ordenadas (valores da função nesses x_i). O produto acima multiplica, para cada j\ne i, o fator (x-x_j)/(x_i-x_j). Cada L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i, por isso P interpola os pontos.

Passo 3

Calculo os denominadores constantes d_i=\prod_{j\ne i}(x_i-x_j) (são só números, servem para os L_i):
Para i=0 com x_0=-1:
d_0=(-1-0)(-1-1)(-1-2)(-1-3)=(-1)(-2)(-3)(-4)=24.
Para i=1 com x_1=0:
d_1=(0-(-1))(0-1)(0-2)(0-3)=1\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=-6.
Para i=2 com x_2=1:
d_2=(1-(-1))(1-0)(1-2)(1-3)=2\cdot1\cdot(-1)\cdot(-2)=4.
Para i=3 com x_3=2:
d_3=(2-(-1))(2-0)(2-1)(2-3)=3\cdot2\cdot1\cdot(-1)=-6.
Para i=4 com x_4=3:
d_4=(3-(-1))(3-0)(3-1)(3-2)=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
Esses d_i são fixos e serão usados para calcular L_i(2{,}5).

Passo 4

Calculo os numeradores n_i=\prod_{j\ne i}(x-x_j) para x=2{,}5:
Para i=0 (usar x=2{,}5):
n_0=(2{,}5-0)(2{,}5-1)(2{,}5-2)(2{,}5-3)=2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5)=-0{,}9375.
Para i=1:
n_1=(2{,}5-(-1))(2{,}5-1)(2{,}5-2)(2{,}5-3)=3{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5)=-1{,}3125.
Para i=2:
n_2=(2{,}5-(-1))(2{,}5-0)(2{,}5-2)(2{,}5-3)=3{,}5\cdot2{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5)=-2{,}1875.
Para i=3:
n_3=(2{,}5-(-1))(2{,}5-0)(2{,}5-1)(2{,}5-3)=3{,}5\cdot2{,}5\cdot1{,}5\cdot(-0{,}5)=-6{,}5625.
Para i=4:
n_4=(2{,}5-(-1))(2{,}5-0)(2{,}5-1)(2{,}5-2)=3{,}5\cdot2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5=6{,}5625.

Passo 5

Agora L_i(2{,}5)=n_i/d_i. Calculo cada um:
\begin{aligned} L_0(2{,}5)&=\dfrac{-0{,}9375}{24}=-0{,}0390625,\\[6pt] L_1(2{,}5)&=\dfrac{-1{,}3125}{-6}=0{,}21875,\\[6pt] L_2(2{,}5)&=\dfrac{-2{,}1875}{4}=-0{,}546875,\\[6pt] L_3(2{,}5)&=\dfrac{-6{,}5625}{-6}=1{,}09375,\\[6pt] L_4(2{,}5)&=\dfrac{6{,}5625}{24}=0{,}2734375. \end{aligned}
Verificação rápida (propriedade): \sum_{i=0}^4 L_i(2{,}5)=-0{,}0390625+0{,}21875-0{,}546875+1{,}09375+0{,}2734375=1. Isso é bom — indica que não houve erro aritmético grosseiro.]

Passo 6

Calculo P(2{,}5)=\sum_{i=0}^4 y_i L_i(2{,}5). Faço produto por produto (vou mostrar com 9 casas decimais quando necessário para transparência):
\begin{aligned} y_0L_0&=2{,}5403\cdot(-0{,}0390625)=-0{,}09923046875,\\[4pt] y_1L_1&=3{,}0000\cdot0{,}21875=0{,}65625,\\[4pt] y_2L_2&=2{,}5403\cdot(-0{,}546875)=-1{,}3892265625,\\[4pt] y_3L_3&=1{,}5839\cdot1{,}09375=1{,}732390625,\\[4pt] y_4L_4&=1{,}0100\cdot0{,}2734375=0{,}276171875. \end{aligned}
Somando:
P(2{,}5)=-0{,}09923046875+0{,}65625-1{,}3892265625+1{,}732390625+0{,}276171875=1{,}17635546875.
Portanto a estimativa pelo polinômio de Lagrange usando todos os pontos é
P(2{,}5)\approx1{,}17635546875.]

Passo 7

Agora calculo o valor exato (verdadeiro) da função em x=2{,}5, que é \cos(2{,}5)+2. Usando uma calculadora para \cos(2{,}5) (valor em radianos):
\cos(2{,}5)\approx-0{,}8011436155469337,
logo
\cos(2{,}5)+2\approx1{,}1988563844530663.
(Observe que os valores da tabela do enunciado são aproximações de \cos(x)+2, então faz sentido usar a mesma função para comparar.)

Passo 8

Calculo o erro absoluto:
\text{erro absoluto}=\big|P(2{,}5)-\big(\cos(2{,}5)+2\big)\big| =\big|1{,}17635546875-1{,}1988563844530663\big| \approx0{,}0225009157030663.
Arredondando de forma usual, o erro absoluto é cerca de 0{,}0225009.

Resposta

P(2{,}5)\approx1{,}17635546875
\text{erro absoluto}\approx0{,}0225009157030663

Exercícios relacionados