Usando o método iterativo de Gauss-Jacobi, determinar uma solução aproximada para o sistema dado a seguir, com aproximação inicial
, Com precisão
usando 4 casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi. O que isso significa? Basicamente, a gente vai encontrar uma solução aproximada para o sistema de três equações com três incógnitas dado. Para isso, vamos começar com uma estimativa inicial, que no caso é $ x^{(0)} = (0, 0, 0) $, e repetir o processo de iteração até que a resposta seja precisa o suficiente, no nosso caso, com uma precisão de $ \epsilon = 0,04 $ usando 4 casas decimais. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e métodos iterativos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método de Gauss-Jacobi. Esse método resolve sistemas de equações lineares iterativamente, ou seja, a gente vai melhorando a solução passo a passo até chegar perto do resultado exato. Para isso, a gente reescreve cada equação do sistema isolando cada incógnita. No nosso sistema:
Vamos isolar cada variável:
Essas serão as fórmulas que vamos usar para atualizar nossos valores de $ a $, $ b $ e $ c $ a cada iteração.
Passo 3
Agora, vamos iniciar com a aproximação inicial $ x^{(0)} = (0, 0, 0) $. Isso significa que, na primeira iteração, as variáveis $ a $, $ b $ e $ c $ são todas zero.
Vamos calcular a primeira iteração $ x^{(1)} $:
Então, após a primeira iteração, temos $ x^{(1)} = (1,4, 2,2, 0,8) $.
Passo 4
Vamos agora para a segunda iteração usando $ x^{(1)} $:
Então, $ x^{(2)} = (0,88, 1,76, -0,14) $.
Passo 5
Vamos continuar para a terceira iteração usando $ x^{(2)} $:
Então, $ x^{(3)} = (1,062, 2,052, 0) $.
Passo 6
Vamos fazer a quarta iteração usando $ x^{(3)} $:
Então, $ x^{(4)} = (0,9896, 1,9876, -0,028) $.
Passo 7
Agora, vamos verificar se atingimos a precisão desejada $ \epsilon = 0,04 $. Vamos calcular a diferença entre $ x^{(4)} $ e $ x^{(3)} $:
A maior diferença é $ 0,0724 $, que ainda é maior que $ \epsilon $. Então, precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 8
Fazendo a quinta iteração usando $ x^{(4)} $:
Então, $ x^{(5)} = (1,00528, 2,00768, 0,0058) $.
Passo 9
Vamos verificar novamente a diferença entre $ x^{(5)} $ e $ x^{(4)} $:
A maior diferença agora é $ 0,0338 $, que é menor que $ \epsilon = 0,04 $. Portanto, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é: