Usando o método iterativo de Gauss-Jacobi, determinar uma solução aproximada para o sistema dado a seguir, com aproximação inicial x^(0)=(0,0,0), Com precisão epsilon=0,04 usando 4 casas decimais:
(ccc 10 & 2 & 1 1 & 5 & 1 2 & 3 & 10 )(l a b c )=(c 14 11 8 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi. O que isso significa? Basicamente, a gente vai encontrar uma solução aproximada para o sistema de três equações com três incógnitas dado. Para isso, vamos começar com uma estimativa inicial, que no caso é $ x^{(0)} = (0, 0, 0) $, e repetir o processo de iteração até que a resposta seja precisa o suficiente, no nosso caso, com uma precisão de $ \epsilon = 0,04 $ usando 4 casas decimais. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e métodos iterativos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método de Gauss-Jacobi. Esse método resolve sistemas de equações lineares iterativamente, ou seja, a gente vai melhorando a solução passo a passo até chegar perto do resultado exato. Para isso, a gente reescreve cada equação do sistema isolando cada incógnita. No nosso sistema:
10a + 2b + c = 14 a + 5b + c = 11 2a + 3b + 10c = 8
Vamos isolar cada variável:
a = 14 - 2b - c10 b = 11 - a - c5 c = 8 - 2a - 3b10
Essas serão as fórmulas que vamos usar para atualizar nossos valores de $ a $, $ b $ e $ c $ a cada iteração.

Passo 3

Agora, vamos iniciar com a aproximação inicial $ x^{(0)} = (0, 0, 0) $. Isso significa que, na primeira iteração, as variáveis $ a $, $ b $ e $ c $ são todas zero.
Vamos calcular a primeira iteração $ x^{(1)} $:
x^(0) = (0, 0, 0)
Então, após a primeira iteração, temos $ x^{(1)} = (1,4, 2,2, 0,8) $.

Passo 4

Vamos agora para a segunda iteração usando $ x^{(1)} $:
x^(1)
Então, $ x^{(2)} = (0,88, 1,76, -0,14) $.

Passo 5

Vamos continuar para a terceira iteração usando $ x^{(2)} $:
x^(2)
Então, $ x^{(3)} = (1,062, 2,052, 0) $.

Passo 6

Vamos fazer a quarta iteração usando $ x^{(3)} $:
x^(3)
Então, $ x^{(4)} = (0,9896, 1,9876, -0,028) $.

Passo 7

Agora, vamos verificar se atingimos a precisão desejada $ \epsilon = 0,04 $. Vamos calcular a diferença entre $ x^{(4)} $ e $ x^{(3)} $:
epsilon = 0,04
A maior diferença é $ 0,0724 $, que ainda é maior que $ \epsilon $. Então, precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 8

Fazendo a quinta iteração usando $ x^{(4)} $:
x^(4)
Então, $ x^{(5)} = (1,00528, 2,00768, 0,0058) $.

Passo 9

Vamos verificar novamente a diferença entre $ x^{(5)} $ e $ x^{(4)} $:
x^(5)
A maior diferença agora é $ 0,0338 $, que é menor que $ \epsilon = 0,04 $. Portanto, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é:
a approx 1,0053, b approx 2,0077, c approx 0,0058

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