Definamos a matriz J como aquela matriz de tamanho n times n tal que jimath ell=1, ou seja, todas as entradas valem 1. Determine todos os autovalores de J quando n=2 e n=3. Formule uma hipótese sobre os autovalores de J em função de seu tamanho.

Passo 1

Beleza, resumo rápido da parada: a gente tem a matriz de tamanho em que toda entrada vale 1. O assunto aqui é autovalores e autovetores (ou seja, “quem são os que satisfazem e quais vetores não-nulos dão ?”). Para resolver vamos usar:
  1. A definição de autovalor/autovetor.
  2. A equação característica .
  3. Uma propriedade massa: é rank-1 (ou seja, “posto 1”), então só dá um autovalor não-zero e o resto zero.

Passo 2

Caso J2 = 1 & 1 1 & 1 .
  1. Escreve a matriz:
det(J2 - lambda I) = det1-lambda & 1 1 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda = lambda(lambda - 2)
  1. Faz a equação característica:
  1. As raízes são e .
  2. Se quiser, vê que para um autovetor é e para um autovetor é .

Passo 3

Caso J3 = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 .
  1. A matriz é
J3,u = (1+1+1),(1,1,1)^T = 3,u,
  1. Em vez de expandir todo o determinante, use um truque: seja . Aí
logo é autovalor (com autovetor ).
3. Como tem posto 1, todos os vetores ortogonais a são enviados em zero, ou seja, multiplicidade do autovalor .

Passo 4

Hipótese geral para :
  • Um autovalor é , com multiplicidade 1, cujo autovetor é .
  • Os outros autovalores são zero.

Resposta

Para : autovalores .
Para : autovalores .
Em geral, para : autovalores (um igual a e iguais a 0).

Exercícios relacionados