Definamos a matriz como aquela matriz de tamanho tal que , ou seja, todas as entradas valem 1. Determine todos os autovalores de quando e . Formule uma hipótese sobre os autovalores de em função de seu tamanho.
Passo 1
Beleza, resumo rápido da parada: a gente tem a matriz de tamanho em que toda entrada vale 1. O assunto aqui é autovalores e autovetores (ou seja, “quem são os que satisfazem e quais vetores não-nulos dão ?”). Para resolver vamos usar:
A definição de autovalor/autovetor.
A equação característica .
Uma propriedade massa: é rank-1 (ou seja, “posto 1”), então só dá um autovalor não-zero e o resto zero.
Passo 2
Caso .
Escreve a matriz:
Faz a equação característica:
As raízes são e .
Se quiser, vê que para um autovetor é e para um autovetor é .
Passo 3
Caso .
A matriz é
Em vez de expandir todo o determinante, use um truque: seja . Aí
logo é autovalor (com autovetor ).
3. Como tem posto 1, todos os vetores ortogonais a são enviados em zero, ou seja, multiplicidade do autovalor .
Passo 4
Hipótese geral para :
Um autovalor é , com multiplicidade 1, cujo autovetor é .
Os outros autovalores são zero.
Resposta
Para : autovalores .
Para : autovalores .
Em geral, para : autovalores (um igual a e iguais a 0).