Interpolação (Newton, grau 3)
Dada a tabela
c|cccc x & 0 & 1 & 2 & 3 f(x) & 1 & 2 & 4 & 5
construa o polinômio interpolador de grau 3 pela Forma de Newton (diferenças divididas). Apresente a forma final simplificada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “A gente tem a tabela
c|cccc x & 0 & 1 & 2 & 3 hline f(x) & 1 & 2 & 4 & 5
e precisa achar o polinômio interpolador de grau 3 usando a Forma de Newton (diferenças divididas).”
Isso é conteúdo de Interpolação Polinomial, mais especificamente a Forma de Newton, e o que vamos precisar é:
  1. Calcular as diferenças divididas de ordem 1, 2 e 3.
  2. Montar o polinômio na forma P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+dots
  3. Por fim, expandir e simplificar pra ficar bonitinho.

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia é:
  • Ordem 0: f[xi,xi+1]=f[xi+1]-f[xi]xi+1-xi .
  • Ordem 1: c|cccc xi & 0 & 1 & 2 & 3 hline f[xi] & 1 & 2 & 4 & 5
  • E assim por diante.
Tabela:
f[x0,x1]&=tfrac2-11-0=1, f[x1,x2]&=tfrac4-22-1=2, f[x2,x3]&=tfrac5-43-2=1
Ordem 1:
f[x0,x1,x2] &=f[x1,x2]-f[x0,x1]2-0 =2-12= tfrac12, f[x1,x2,x3] &=f[x2,x3]-f[x1,x2]3-1 =1-22= -tfrac12
Ordem 2:
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]3-0 =-tfrac12 - tfrac123 = -tfrac13
Ordem 3:

Passo 3

Bora montar o polinômio na Forma de Newton:
P(x) &=f[x0] +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1) & +f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo P(x) =1 +1,(x-0) +tfrac12,(x-0)(x-1) -tfrac13,(x-0)(x-1)(x-2) , , , e os valores que achamos:

Passo 4

Agora é expandir e juntar os termos:
  1. P(x) =-tfrac13,x^3 +tfrac32,x^2 -tfrac16,x +1 .
  2. .
Somando tudo:
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de : .
  • Constante: .
Fica:

Resposta

boxed,P(x)=-13x^3+32x^2-16x+1,

Exercícios relacionados