Calcule kappa2(A) se
A=\left( ll10 & -4 12 & -4\right)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma matriz
A = 10 & -4 [6pt] 12 & -4
e quer calcular o número de condição dela na norma 2, que chamamos de .
Conteúdo envolvido: norma espectral (norma-2) e singular values (valores singulares).
O que vamos precisar:
• Definição de .
• Como achar a norma-2 de e de usando singular values.
• Cálculo de autovalores de .

Passo 2

Definição chave:
kappa2(A) ;=; |A|2 ,|A^-1|2
Mas na prática a gente usa que a norma-2 de kappa2(A) ;=; sigmamax(A)sigmamin(A) é o maior valor singular de , e a norma-2 de é o inverso do menor valor singular de . Ou seja
Valores singulares são as raízes dos autovalores de .

Passo 3

Vamos montar A^T = 10 & 12[3pt]-4 & -4, A^T A = 10 & 12[3pt]-4 & -4 10 & -4[3pt]12 & -4 = 244 & -88[3pt]-88 & 32 .

Passo 4

Agora a gente encontra os autovalores a & b b & d de det!l(A^T A - lambda Ir) = (a-lambda)(d-lambda) - b^2 = 0 .
Para matriz , a equação característica é
Aqui , , .

Passo 5

Calculando o traço e o determinante:
tr = 244 + 32 = 276, det = 244cdot32 - (-88)^2 = 7808 - 7744 = 64
Assim os autovalores são
lambda1,2 = tr pm raiztr^2 - 4det2 = 276 pm raiz276^2 - 4cdot642 = 276 pm raiz759202
Numericamente
lambda1 approx 275.8, lambda2 approx 0.2

Passo 6

Os valores singulares são sigmamax = raiz275.8 approx 16.61, sigmamin = raiz0.2 approx 0.4472 .
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Passo 7

Por fim, o número de condição
kappa2(A) = sigmamaxsigmamin approx 16.610.4472 approx 37.15

Resposta

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