Demonstrar por indução as relações seguintes:
1^2+2^2+3^2+cdots+n^2=n^33+n^22+n6

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente demonstrar por indução que
1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = n^33 ;+;n^22;+;n6
O conteúdo aqui é prova por indução matemática. Para isso a gente vai precisar:
  1. verificar a base (normalmente em );
  2. assumir que a fórmula vale para (hipótese de indução);
  3. mostrar que isso implica que vale para (passo indutivo).

Passo 2

Testa em 1^33 + 1^22 + 16 = 13 + 12 + 16 = 2 + 3 + 16 = 66 = 1 :
Lado esquerdo: .
Lado direito:
Então a fórmula bate em . Base ok!

Passo 3

Suponha que, para algum 1^2 + 2^2 + cdots + k^2 = k^33 + k^22 + k6 , dê certinho:
Vamos usar isso pra provar que também vale para .

Passo 4

Queremos mostrar que
1^2 + 2^2 + cdots + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)^33 + (k+1)^22 + k+16
Começamos pelo lado esquerdo e substituímos a soma até underbrace1^2 + cdots + k^2hipótese ;+;(k+1)^2 = l(k^33 + k^22 + k6r) + (k+1)^2 pela hipótese:
2k^3 + 3k^2 + k6 ;+; 6,(k+1)^26 = 2k^3 + 3k^2 + k + 6(k^2+2k+1)6 ó
Agora, põe tudo em denominador comum 6:
[
\frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}
;+;
\frac{6,(k+1)^2}{6}

\frac{2k^3 + 3k^2 + k + 6(k^2+2k+1)}{6}.
]
Expande 2k^3 + 3k^2 + k + 6k^2 + 12k + 66 = 2k^3 + (3k^2+6k^2) + (k+12k) + 66 = 2k^3 + 9k^2 + 13k + 66 :
[
\frac{2k^3 + 3k^2 + k + 6k^2 + 12k + 6}{6}

\frac{2k^3 + (3k2+6k2) + (k+12k) + 6}{6}

\frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}.
]
Por outro lado, o lado direito que queremos provar é
(k+1)^33 + (k+1)^22 + k+16
Expande 2(k^3+3k^2+3k+1) + 3(k^2+2k+1) + (k+1)6 = 2k^3+6k^2+6k+2 + 3k^2+6k+3 + k+16 = 2k^3 + 9k^2 + 13k + 66 e .
Põe tudo em /6:
[
\frac{2(k3+3k2+3k+1) + 3(k^2+2k+1) + (k+1)}{6}

\frac{2k3+6k2+6k+2 + 3k^2+6k+3 + k+1}{6}

\frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}.
]
Deu exatamente a mesma coisa! Isso mostra que, se vale para , vale também para .

Resposta

Por indução, concluímos que para todo 1^2 + 2^2 + cdots + n^2 = n^33 ;+;n^22;+;n6 vale

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