Beleza, o enunciado pede pra gente demonstrar por indução que
O conteúdo aqui é prova por indução matemática. Para isso a gente vai precisar:
verificar a base (normalmente em );
assumir que a fórmula vale para (hipótese de indução);
mostrar que isso implica que vale para (passo indutivo).
Passo 2
Testa em :
Lado esquerdo: .
Lado direito:
Então a fórmula bate em . Base ok!
Passo 3
Suponha que, para algum , dê certinho:
Vamos usar isso pra provar que também vale para .
Passo 4
Queremos mostrar que
Começamos pelo lado esquerdo e substituímos a soma até pela hipótese:
Agora, põe tudo em denominador comum 6:
[
\frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}
;+;
\frac{6,(k+1)^2}{6}