Observar que
Inferir a expressão geral e prová-la por indução
Passo 1
Beleza, o enunciado mostra que
e pede pra gente “adivinhar” a forma geral desse produto e depois provar por indução.
Conteúdo da matéria: produto telescópico e prova por indução matemática.
O que precisamos:
Conteúdo da matéria: produto telescópico e prova por indução matemática.
O que precisamos:
- Entender o que é produto telescópico (como os termos “se cancelam”).
- Saber como funciona a indução (base e passo indutivo).
Passo 2
Vamos inferir a forma geral. Nos exemplos cada fator é
e o produto vai de
até
. Então o chute natural é
Agora olha o “segredinho” do telescópio:
os numeradores “cobrem” os denominadores vizinhos e sobra só
Então a expressão geral deve ser
Passo 3
Agora vamos provar por indução em
.
- Base da indução (
):
e a fórmula diz
. Bate certinho!
Passo 4
- Passo indutivo:
Suponha que a fórmula vale para, ou seja,
A gente quer mostrar que ela vale para
.
Olha o produto até :
Olha o produto até
Pela hipótese de indução, o pedaço até
é
. E
Logo
que é exatamente o que precisávamos provar. Assim, fechou a indução.