Observar que
cl 1-12 & =12 (1-12)(1-13) & =13 (1-12)(1-13)(1-14) & =14
Inferir a expressão geral e prová-la por indução

Passo 1

Beleza, o enunciado mostra que
1-tfrac12=tfrac12, l(1-tfrac12r)l(1-tfrac13r)=tfrac13, l(1-tfrac12r)l(1-tfrac13r)l(1-tfrac14r)=tfrac14,
e pede pra gente “adivinhar” a forma geral desse produto e depois provar por indução.
Conteúdo da matéria: produto telescópico e prova por indução matemática.
O que precisamos:
  • Entender o que é produto telescópico (como os termos “se cancelam”).
  • Saber como funciona a indução (base e passo indutivo).

Passo 2

Vamos inferir a forma geral. Nos exemplos cada fator é
1-1k = k-1k,
e o produto vai de prodk=2^nl(1-tfrac1kr) =prodk=2^nk-1k até 12times23times34timescdotstimesn-1n . Então o chute natural é
1n
Agora olha o “segredinho” do telescópio:
boxedprodk=2^nl(1-tfrac1kr)=1n
os numeradores “cobrem” os denominadores vizinhos e sobra só
Então a expressão geral deve ser

Passo 3

Agora vamos provar por indução em prodk=2^2l(1-tfrac1kr) =1-tfrac12=tfrac12, .
  1. Base da indução ( ):
e a fórmula diz . Bate certinho!

Passo 4

  1. Passo indutivo:
    Suponha que a fórmula vale para prodk=2^nl(1-tfrac1kr)=1n , ou seja,
prodk=2^n+1l(1-tfrac1kr) =l(prodk=2^nl(1-tfrac1kr)r)timesl(1-tfrac1n+1r)
A gente quer mostrar que ela vale para 1-tfrac1n+1 = n+1-1n+1 = nn+1 .
Olha o produto até prodk=2^n+1l(1-tfrac1kr) =1ntimesn,n+1, =1n+1, :
Pela hipótese de indução, o pedaço até é . E
Logo
que é exatamente o que precisávamos provar. Assim, fechou a indução.

Resposta

boxedprodk=2^nl(1-tfrac1kr)=1n

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