Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando qualquer método linear visto. Efetue as pivotações, quando necessário.
cx1-x2+x3+x4=0 x1+x2-x3+x4=1,0 -x1+x2+x3-x4=0 2 x1-x2-x3+3 x4=1,0

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para resolver um sistema de 4 equações e 4 incógnitas usando qualquer método visto na aula (vamos usar eliminação de Gauss com pivoteamento). O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente resolução de sistemas lineares por operações elementares em matrizes. Para isso, a gente vai montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos entre linhas) até chegar numa forma escalonada. Depois fazemos back-substitution para encontrar cada variável.

Passo 2

Primeiro, monta a matriz aumentada do sistema
1 & -1 & 1 & 1 &m|& 0 1 & 1 & -1& 1 &m|& 1 -1& 1 & 1 & -1&m|& 0 2 & -1 & -1& 3 &m|& 1
Aqui as colunas são e a última é o vetor de constantes.

Passo 3

Agora, vamos zerar tudo abaixo de 1 & -1 & 1 & 1 &m|& 0 0 & 2 & -2& 0 &m|& 1 0 & 0 & 2 & 0 &m|& 0 0 & 1 & -3& 1 &m|& 1 (pivot na primeira linha):
Fica

Passo 4

Próximo pivot é L4 = (0,1,-3,1mid1)-tfrac12(0,2,-2,0mid1) = (0,0,-2,1mid0,5) . Zera abaixo dele na coluna 2:
  • 1 & -1 & 1 & 1 &m|& 0 0 & 2 & -2& 0 &m|& 1 0 & 0 & 2 & 0 &m|& 0 0 & 0 & -2& 1 &m|& 0,5
L4 = (0,0,-2,1mid0,5)+(0,0,2,0mid0) = (0,0,0,1mid0,5)
Agora temos
1 & -1 & 1 & 1 &m|& 0 0 & 2 & -2& 0 &m|& 1 0 & 0 & 2 & 0 &m|& 0 0 & 0 & 0 & 1 &m|& 0,5
Em seguida, pivot . Zera abaixo:
Agora está totalmente escalonado:

Passo 5

Fazendo back-substitution:
  • Da última linha: .
  • Terceira: .
  • Segunda: .
  • Primeira: .

Resposta

(x1,,x2,,x3,,x4) = (0,;0,5,;0,;0,5)

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