Demonstrar:
Demonstrar que se
e se
então
.
Demonstrar que se
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: se
e
, então
.
Informações dadas:
-
, , são inteiros (entende-se inteiros não nulos quando necessário). -
. -
. - Precisamos mostrar que, com essas hipóteses,
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática): eu vou usar a ideia de fatoração em primos medida através da função
, que conta a multiplicidade do primo
em um número inteiro. Isso é muito prático porque o máximo divisor comum é determinado, para cada primo
, pelo mínimo das multiplicidades de
nos números. Vou explicar tudo devagarinho: o que é
, suas propriedades úteis e depois aplico isso prime a prime (primo a primo) para mostrar a igualdade dos gcds.
Passo 3
Definição e propriedades fundamentais (aulas rápidas):
- Para um primo
e inteiro , define-se como o maior expoente inteiro tal que divide . Ex.: porque . - Propriedade da multiplicação:
porque ao multiplicar fatorizações em primos somam-se os expoentes. - Propriedade do gcd:
Isso decorre diretamente de olhar as fatorações em primos: o gcd pega a menor potência de comum aos dois números.
Essas propriedades são básicas e fáceis de entender com um exemplo: see , então , , e .
Passo 4
Transcrever as hipóteses em termos de
:
- A condição
significa, para todo primo , Em palavras: para cada primo , pelo menos um entre e é zero — isto é, e não compartilham nenhum primo com expoente positivo. - A condição
significa, para todo primo ,
Passo 5
Calcular
e comparar com
, para um primo arbitrário
.
Usamos que
e a propriedade do gcd. Então
Como temos
(pela hipótese
), existem dois casos para o valor de
:
-
Caso 1:
. Então E também, logo -
Caso 2:
. Então, pela hipótese , necessariamente . Assim E pelo que escrevemos no Passo 4 isso é exatamente.
Em ambos os casos obtemos
para todo primo
.
Passo 6
Concluir a igualdade dos números: saber que, para todo primo
,
implica que
e
têm exatamente a mesma fatoração em primos, logo são iguais como inteiros. Portanto
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (ilustrativo): tome
,
,
. Temos
e
, então
. Calculando
. Funciona com as multiplicidades dos primos: para
e
vemos que os mínimos batem como explicado acima.