Demonstrar:
Demonstrar que se m d c(a, b)=1 e se m d c(a, c)=d então m d c(a, b c)=d.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação: se \gcd(a,b)=1 e \gcd(a,c)=d, então \gcd(a,bc)=d.
Informações dadas:
  • a, b, c são inteiros (entende-se inteiros não nulos quando necessário).
  • \gcd(a,b)=1.
  • \gcd(a,c)=d.
  • Precisamos mostrar que, com essas hipóteses, \gcd(a,bc)=d.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática): eu vou usar a ideia de fatoração em primos medida através da função v_p(\cdot), que conta a multiplicidade do primo p em um número inteiro. Isso é muito prático porque o máximo divisor comum é determinado, para cada primo p, pelo mínimo das multiplicidades de p nos números. Vou explicar tudo devagarinho: o que é v_p, suas propriedades úteis e depois aplico isso prime a prime (primo a primo) para mostrar a igualdade dos gcds.

Passo 3

Definição e propriedades fundamentais (aulas rápidas):
  • Para um primo p e inteiro n\neq0, define-se v_p(n) como o maior expoente inteiro \alpha\ge0 tal que p^\alpha divide n. Ex.: v_2(12)=2 porque 12=2^2\cdot3.
  • Propriedade da multiplicação: v_p(mn)=v_p(m)+v_p(n)porque ao multiplicar fatorizações em primos somam-se os expoentes.
  • Propriedade do gcd: v_p(\gcd(m,n))=\min\bigl(v_p(m),\,v_p(n)\bigr).Isso decorre diretamente de olhar as fatorações em primos: o gcd pega a menor potência de p comum aos dois números.
    Essas propriedades são básicas e fáceis de entender com um exemplo: se m=2^3\cdot3 e n=2^1\cdot5, então v_2(m)=3, v_2(n)=1, v_2(mn)=4 e v_2(\gcd(m,n))=\min(3,1)=1.

Passo 4

Transcrever as hipóteses em termos de v_p:
  • A condição \gcd(a,b)=1 significa, para todo primo p, \min\bigl(v_p(a),\,v_p(b)\bigr)=0.Em palavras: para cada primo p, pelo menos um entre v_p(a) e v_p(b) é zero — isto é, a e b não compartilham nenhum primo com expoente positivo.
  • A condição \gcd(a,c)=d significa, para todo primo p, v_p(d)=\min\bigl(v_p(a),\,v_p\text{(c)}\bigr).

Passo 5

Calcular v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr) e comparar com v_p(d), para um primo arbitrário p.
Usamos que v_p(bc)=v_p(b)+v_p\text{(c)} e a propriedade do gcd. Então
v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr)=\min\bigl(v_p(a),\,v_p(bc)\bigr) =\min\bigl(v_p(a),\,v_p(b)+v_p\text{(c)}\bigr).
Como temos \min\bigl(v_p(a),\,v_p(b)\bigr)=0 (pela hipótese \gcd(a,b)=1), existem dois casos para o valor de v_p(a):
  • Caso 1: v_p(a)=0. Então
    v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr)=\min(0,\,v_p(b)+v_p\text{(c)})=0.
    E também \min\bigl(v_p(a),\,v_p\text{(c)}\bigr)=\min(0,\,v_p\text{(c)})=0, logo
    v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr)=\min\bigl(v_p(a),\,v_p\text{(c)}\bigr)=v_p(d).
  • Caso 2: v_p(a)>0. Então, pela hipótese \min\bigl(v_p(a),v_p(b)\bigr)=0, necessariamente v_p(b)=0. Assim
    v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr)=\min\bigl(v_p(a),\,0+v_p\text{(c)}\bigr)=\min\bigl(v_p(a),\,v_p\text{(c)}\bigr).
    E pelo que escrevemos no Passo 4 isso é exatamente v_p(d).
Em ambos os casos obtemos
v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr)=v_p(d)
para todo primo p.

Passo 6

Concluir a igualdade dos números: saber que, para todo primo p, v_p\bigl(\gcd(a,bc)\bigr)=v_p(d) implica que \gcd(a,bc) e d têm exatamente a mesma fatoração em primos, logo são iguais como inteiros. Portanto
\gcd(a,bc)=d.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (ilustrativo): tome a=12, b=5, c=6. Temos \gcd(12,5)=1 e \gcd(12,6)=6, então d=6. Calculando \gcd(12,5\cdot6)=\gcd(12,30)=6. Funciona com as multiplicidades dos primos: para p=2 e p=3 vemos que os mínimos batem como explicado acima.

Resposta

\gcd(a,bc)=d

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