Quais os dois menores números pelos quais devemos dividir 252 e 234 para que os quocientes obtidos sejam iguais?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os dois menores números pelos quais devemos dividir
e
de modo que os quocientes obtidos sejam iguais.
Informações dadas: e
.
O que se quer: um número para dividir e outro número para dividir
tais que os dois quocientes sejam iguais. O resultado final deve indicar esses dois menores números (o primeiro para
e o segundo para
).
Informações dadas:
O que se quer: um número para dividir
Passo 2
Vamos traduzir o pedido em linguagem matemática simples. Suponha que o quociente comum valha
. Então, ao dividir
por um número
obtemos
, e ao dividir
por um número
obtemos o mesmo
. Escrevendo:
Essas igualdades significam que
Para que
e
sejam números inteiros,
precisa ser um divisor inteiro tanto de
quanto de
. Ou seja,
deve ser um divisor comum de
e
.
Passo 3
Agora pense no que queremos minimizar. Queremos que os números pelos quais dividimos (
e
) sejam os menores possíveis. Observe que
e
: quanto maior for
, menores serão
e
. Portanto, para obter os menores
e
devemos escolher o maior
possível que ainda seja divisor comum de
e
. O maior divisor comum é justamente o máximo divisor comum, isto é, o
(máximo divisor comum) de
e
.
Passo 4
Vamos então encontrar
usando o algoritmo de Euclides — é um método simples e muito usado para achar o maior divisor comum. A ideia é repetir divisões:
Começamos por subtrair ou dividir:
. Isso mostra que
Agora calculamos
. Fazendo a divisão inteira de
por
:
Como o resto é
, concluímos que
Portanto
Passo 5
Tendo
, voltamos às fórmulas
e
. Substituindo
:
Agora fazemos as divisões passo a passo sem pular etapas para você ver que dá certinho.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 6
Verificação final: ao dividir
por
obtemos
e ao dividir
por
obtemos
Os quocientes são iguais a
, como queríamos. E como escolhemos
igual ao
, esses
e
são de fato os menores números possíveis para dividir
e
mantendo quocientes iguais.