Quais os dois menores números pelos quais devemos dividir 252 e 234 para que os quocientes obtidos sejam iguais?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os dois menores números pelos quais devemos dividir 252 e 234 de modo que os quocientes obtidos sejam iguais.
Informações dadas: 252 e 234.
O que se quer: um número para dividir 252 e outro número para dividir 234 tais que os dois quocientes sejam iguais. O resultado final deve indicar esses dois menores números (o primeiro para 252 e o segundo para 234).

Passo 2

Vamos traduzir o pedido em linguagem matemática simples. Suponha que o quociente comum valha q. Então, ao dividir 252 por um número x obtemos q, e ao dividir 234 por um número y obtemos o mesmo q. Escrevendo:
\frac{252}{x}=q
\frac{234}{y}=q
Essas igualdades significam que
x=\frac{252}{q}\quad\text{e}\quad y=\frac{234}{q}.
Para que x e y sejam números inteiros, q precisa ser um divisor inteiro tanto de 252 quanto de 234. Ou seja, q deve ser um divisor comum de 252 e 234.

Passo 3

Agora pense no que queremos minimizar. Queremos que os números pelos quais dividimos ( x e y) sejam os menores possíveis. Observe que x=\dfrac{252}{q} e y=\dfrac{234}{q}: quanto maior for q, menores serão x e y. Portanto, para obter os menores x e y devemos escolher o maior q possível que ainda seja divisor comum de 252 e 234. O maior divisor comum é justamente o máximo divisor comum, isto é, o \gcd (máximo divisor comum) de 252 e 234.

Passo 4

Vamos então encontrar \gcd(252,234) usando o algoritmo de Euclides — é um método simples e muito usado para achar o maior divisor comum. A ideia é repetir divisões:
Começamos por subtrair ou dividir: 252-234=18. Isso mostra que
\gcd(252,234)=\gcd(234,18).
Agora calculamos \gcd(234,18). Fazendo a divisão inteira de 234 por 18:
234 = 18 \times 13 + 0.
Como o resto é 0, concluímos que
\gcd(234,18)=18.
Portanto
\gcd(252,234)=18.

Passo 5

Tendo q=\gcd(252,234)=18, voltamos às fórmulas x=\dfrac{252}{q} e y=\dfrac{234}{q}. Substituindo q=18:
x=\frac{252}{18},\qquad y=\frac{234}{18}.
Agora fazemos as divisões passo a passo sem pular etapas para você ver que dá certinho.
Calcule x:
\frac{252}{18} = \frac{18\times 14}{18} = 14.
Calcule y:
\frac{234}{18} = \frac{18\times 13}{18} = 13.

Passo 6

Verificação final: ao dividir 252 por 14 obtemos
\frac{252}{14}=18,
e ao dividir 234 por 13 obtemos
\frac{234}{13}=18.
Os quocientes são iguais a 18, como queríamos. E como escolhemos q igual ao \gcd, esses 14 e 13 são de fato os menores números possíveis para dividir 252 e 234 mantendo quocientes iguais.

Resposta

14
13

Exercícios relacionados