Deduza o termo do erro em relação ao polinômio de Hermite. (Sugestão: Utilize o mesmo método usado para a dedução do erro de Lagrange:
g(t)=f(t)-H2 n+1(t)-(t-x0)^2 ldots(t-xn)^2(x-x0)^2 ldots(x-xn)^2[f(x)-H2 n+1(x)]
e use o fato que g^prime(t) tem (2 n+2) zeros em [a, b].)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado em poucas palavras: “Quero deduzir o termo de erro para o polinômio de Hermite de grau .”
Conteúdo que cai aqui: interpolação de Hermite e o método de resto via função auxiliar (igual ao que fazíamos em Lagrange, usando Rolle).
O que a gente vai precisar:
  1. Construir uma função que zere em certos pontos.
  2. Aplicar o Teorema de Rolle repetidas vezes (ou ver que a derivada de tem muitos zeros).
  3. Avaliar a derivada de ordem de num ponto intermediário e isolar o resto.

Passo 2

A ideia padrão é definir
g(t) ;=; f(t);-;H2n+1(t);-; (t-x0)^2(t-x1)^2cdots(t-xn)^2(x-x0)^2(x-x1)^2cdots(x-xn)^2,l[f(x)-H2n+1(x)r]
Por que essa definição?
  • Os pontos de nós são . No polinômio de Hermite a gente força igualdade de e nesses nós, então
    e .
  • Além disso, o fator faz com que em o terceiro termo cancele exatamente .
Logo, “meras contas” mostram que
  1. e para cada .
  2. .
    No total, são zeros de em .

Passo 3

Como é suficientemente suave (supondo ), podemos usar Rolle repetidas vezes.
  • De zeros de a gente conclui que tem pelo menos zeros.
  • Mais ainda, tem pelo menos zeros, e assim por diante.
    No fim, tem pelo menos 1 zero em , digamos em .

Passo 4

Agora vamos calcular l(f(t)-H2n+1(t)r)^(2n+2) = f^(2n+2)(t) - l(H2n+1r)^(2n+2)(t) .
Observando a definição de T(t);=; (t-x0)^2cdots(t-xn)^2(x-x0)^2cdots(x-xn)^2,l[f(x)-H2n+1(x)r] , os primeiros dois termos dão
T^(2n+2)(t) = (2n+2)!,1(x-x0)^2cdots(x-xn)^2,l[f(x)-H2n+1(x)r]
Mas g^(2n+2)(t) = f^(2n+2)(t) ;-; (2n+2)!,f(x)-H2n+1(x)(x-x0)^2cdots(x-xn)^2 é um polinômio de grau , então .
O terceiro termo de é
Note que é constante em . E é um polinômio de grau . Então
Logo, recolhendo tudo,

Passo 5

Pelo passo 3 há um 0 = f^(2n+2)(xi) ;-; (2n+2)!,f(x)-H2n+1(x)(x-x0)^2cdots(x-xn)^2 tal que f(x)-H2n+1(x) = f^(2n+2)(xi)(2n+2)!,(x-x0)^2,(x-x1)^2cdots(x-xn)^2 .
Isto é,
Isolando , obtemos

Resposta

O termo de erro na interpolação de Hermite de grau boxed,f(x)-H2n+1(x) = f^(2n+2)(xi)(2n+2)!,prodi=0^n(x-xi)^2, para algum xiin(a,b), é

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