Deduza o termo do erro em relação ao polinômio de Hermite. (Sugestão: Utilize o mesmo método usado para a dedução do erro de Lagrange:
e use o fato que
tem
zeros em
.)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado em poucas palavras: “Quero deduzir o termo de erro para o polinômio de Hermite de grau .”
Conteúdo que cai aqui: interpolação de Hermite e o método de resto via função auxiliar (igual ao que fazíamos em Lagrange, usando Rolle).
O que a gente vai precisar:
Enunciado em poucas palavras: “Quero deduzir o termo de erro para o polinômio de Hermite de grau
Conteúdo que cai aqui: interpolação de Hermite e o método de resto via função auxiliar (igual ao que fazíamos em Lagrange, usando Rolle).
O que a gente vai precisar:
- Construir uma função
que zere em certos pontos. - Aplicar o Teorema de Rolle repetidas vezes (ou ver que a derivada de
tem muitos zeros). - Avaliar a derivada de ordem
de num ponto intermediário e isolar o resto.
Passo 2
A ideia padrão é definir
Por que essa definição?
- Os pontos de nós são
. No polinômio de Hermite a gente força igualdade de e nesses nós, então
e . - Além disso, o fator
faz com que em o terceiro termo cancele exatamente .
Logo, “meras contas” mostram que
-
e para cada . -
.
No total, sãozeros de em .
Passo 3
Como
é suficientemente suave (supondo
), podemos usar Rolle repetidas vezes.
- De
zeros de a gente conclui que tem pelo menos zeros. - Mais ainda,
tem pelo menos zeros, e assim por diante.
No fim,tem pelo menos 1 zero em , digamos em .
Passo 4
Agora vamos calcular
.
Observando a definição de , os primeiros dois termos dão
Observando a definição de
Mas
é um polinômio de grau
, então
.
O terceiro termo de é
O terceiro termo de
Note que
é constante em
. E
é um polinômio de grau
. Então
Logo, recolhendo tudo,
Passo 5
Pelo passo 3 há um
tal que
.
Isto é,
Isto é,
Isolando
, obtemos
Resposta
O termo de erro na interpolação de Hermite de grau
é