Demonstre as propriedades da multiplicação,
.
, isto é,
é fechado em relação multiplicação
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que a multiplicação de naturais permanece em naturais, isto é, provar que
Informações dadas (que vou usar):
são números naturais (
). Não há mais informação explícita no enunciado; usarei a definição recursiva usual de multiplicação sobre
e o princípio da indução matemática.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar — explico devagar porque é o ponto central.
Definição recursiva (usual) de multiplicação por um natural fixo
:
Aqui
é o sucessor de
. Essa definição quer dizer: multiplicar por zero dá zero; multiplicar por
é multiplicar por
e somar mais
.
Princípio da indução (em palavras): para provar uma propriedade
para todo
, basta mostrar: (i)
é verdadeira; (ii) para todo
, se
é verdadeira então
é verdadeira. Vou aplicar isso.
Antes de provar fechamento da multiplicação, preciso usar que a soma de naturais permanece natural (fechamento da soma). Vou provar essa propriedade primeiro como lema.
Passo 3
Lema (fechamento da adição):
Prova do lema por indução em
.
Base (
): por definição de soma em
temos
Como
por hipótese, segue que
. Logo
é verdadeira.
Passo indutivo: suponha que para um certo
valha
(hipótese de indução). Precisamos mostrar
.
Pela definição recursiva da soma,
ou seja, é o sucessor de
. Pela hipótese de indução sabemos que
; como o sucessor de qualquer natural é natural, concluímos que
. Portanto
.
Pela indução, o lema é válido para todo
: a soma de naturais é natural.
Passo 4
Agora provamos o fechamento da multiplicação:
Fixe
. Vamos provar por indução em
que
.
Base (
): pela definição da multiplicação
E
, logo
. Assim
é verdadeira.
Passo indutivo: suponha que para um certo
temos
(hipótese de indução). Queremos mostrar
.
Pela definição recursiva da multiplicação
Pelo passo indutivo
e pelo fato que
(fixado no início), aplicando o lema do Passo 3 (fechamento da soma) obtemos
Logo
.
Pela indução sobre
, a propriedade vale para todo
e para todo
fixo. Como
era arbitrário, vale para todo par
.
Exemplo concreto (para intuir): calcule
pela definição:
e cada um desses resultados é natural por repetição do argumento acima.
Passo 5
Conclusão: mostramos, usando a definição recursiva de multiplicação e o fechamento da soma (provado por indução), que para todo
o produto
pertence a
. Assim
é fechado sob multiplicação.