Demonstre as propriedades da adição, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
Associatividade: m+(n+p)=(m+n)+p

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade da associatividade da adição para números naturais: mostrar que, para quaisquer m,n,p \in \mathbb{N},
m+(n+p)=(m+n)+p.
Informações dadas/necessárias para a prova: os símbolos m,n,p representam naturais arbitrários e a igualdade acima deve valer para todos eles. A prova exigirá usar a definição recursiva da adição em \mathbb{N} e o princípio da indução matemática.

Passo 2

Definição recursiva da adição (forma padrão baseada nos axiomas de Peano). Vou explicar devagar porque isso é a base da prova:
\begin{aligned} &\text{(D1)}\quad n+0 = n \quad\text{para todo } n\in\mathbb{N},\\[6pt] &\text{(D2)}\quad n+S(p) = S(n+p) \quad\text{para todo } n,p\in\mathbb{N}, \end{aligned}
onde S(p) denota o sucessor de p (isto é, S(p)=p+1 na notação familiar). Essas duas regras dizem: adicionar zero não muda o número, e para adicionar o sucessor de p basta adicionar p e então tomar o sucessor do resultado. Essas são as regras que usamos para calcular soma de naturais de forma rigorosa.]

Passo 3

Princípio da indução matemática (explicado como aula rápida): para provar que uma propriedade P(p) vale para todo p\in\mathbb{N} usamos dois passos:
  1. Base: mostrar P(0) é verdadeira.
  2. Passo indutivo: assumir P(p) verdadeira para um p arbitrário (hipótese de indução) e mostrar que disso segue P(S(p)).
    Se esses dois passos são feitos, então P(p) vale para todo p\in\mathbb{N}. Aqui vamos aplicar indução sobre o parâmetro p.

Passo 4

Escolhemos a propriedade a provar por indução:
P(p):\quad m+(n+p)=(m+n)+p,
onde m e n são fixos, arbitrários, e a indução será em p.

Passo 5

Mostramos P(0). Calculemos ambos os lados usando a definição (D1):
\begin{aligned} \text{lado esquerdo:}\quad m+(n+0) &= m+n \quad\text{porque }n+0=n,\\[4pt] \text{lado direito:}\quad (m+n)+0 &= m+n \quad\text{pela mesma regra }n+0=n\text{ aplicada a }(m+n). \end{aligned}
Como os dois lados são iguais a m+n, temos m+(n+0)=(m+n)+0. Logo P(0) é verdadeira.]

Passo 6

Suponha que para um p arbitrário já provemos P(p), ou seja, suponha que
m+(n+p)=(m+n)+p.
Isto é a nossa hipótese de indução. Vou usar isso no passo seguinte.

Passo 7

Precisamos provar P(S(p)), isto é:
m+\bigl(n+S(p)\bigr)=(m+n)+S(p).
Usamos a definição (D2) duas vezes. Primeiro observe que
n+S(p)=S(n+p).
Então o lado esquerdo fica
m+(n+S(p))=m+S(n+p).
Agora aplicamos (D2) à soma m+S(n+p):
m+S(n+p)=S\bigl(m+(n+p)\bigr).
Para o lado direito, aplicando (D2) à soma (m+n)+S(p), obtemos
(m+n)+S(p)=S\bigl((m+n)+p\bigr).
Portanto a igualdade que queremos reduzir é
S\bigl(m+(n+p)\bigr)=S\bigl((m+n)+p\bigr).
Pelo que assumimos na hipótese de indução temos m+(n+p)=(m+n)+p. Aplicando a função sucessor S aos dois membros iguais preserva a igualdade, logo
S\bigl(m+(n+p)\bigr)=S\bigl((m+n)+p\bigr).
Assim concluímos que m+(n+S(p))=(m+n)+S(p), isto é, P(S(p)) é verdadeira.

Passo 8

Pelo princípio da indução, como provamos P(0) e mostramos que P(p)\Rightarrow P(S(p)), segue que P(p) é verdadeira para todo p\in\mathbb{N}. Como m e n eram arbitrários, a igualdade vale para todos m,n,p\in\mathbb{N}. Assim a associatividade da adição está demonstrada.

Passo 9

Para deixar concreto, um exemplo: tome m=2, n=3, p=4. Então
m+(n+p)=2+(3+4)=2+7=9
e
(m+n)+p=(2+3)+4=5+4=9,
ambos dão 9, o que ilustra a associatividade na prática.

Resposta

m+(n+p)=(m+n)+p\quad\text{para todos }m,n,p\in\mathbb{N}.

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