Demonstre as propriedades da multiplicação,
.
Distributiva:
Distributiva:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição para todos os naturais
. As igualdades que precisamos provar são, explicitamente:
e
Dados relevantes que o enunciado fornece ou que vamos usar: a multiplicação e a adição em
são as operações usuais definidas recursivamente (ver passo seguinte). Não começaremos a provar nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e as informações disponíveis.
Passo 2
Definições e fatos básicos que vamos usar (explicados de forma didática):
- A adição em
é uma operação comutativa e associativa e tem elemento neutro . Ou seja, para quaisquer vale
Vou usar essas propriedades livremente quando for preciso reorganizar somas.
- A multiplicação é definida por recorrência (definição padrão por soma iterada), para todo
:
Aqui a ideia é que multiplicar por
significa somar
com ele mesmo
vezes. Cada símbolo usado:
ou simplesmente
é o produto de
por
; o
é o zero natural;
é o sucessor de
.
- Método escolhido: usaremos indução matemática sobre o parâmetro que aparece como segundo fator da multiplicação (isto combina bem com a definição recursiva dada). Primeiro vamos provar
por indução em . Depois provaremos também por indução em .
Passo 3
Prova de
por indução em
.
Base da indução (
):
Usando que e a definição
, temos
Usando que
Do outro lado,
Portanto a igualdade vale para
:
Passo 4
Passo indutivo para
.
Hipótese indutiva: suponha que para um
já valha
Queremos provar que então vale para
, isto é:
Passo 5
Desenvolvimento do passo indutivo (detalhado):
Começamos usando associatividade da adição para escrever . Aplicando a definição recursiva da multiplicação (multiplicar por um sucessor):
Começamos usando associatividade da adição para escrever
Agora aplicamos a hipótese indutiva
:
Usando associatividade e comutatividade da adição, podemos agrupar:
Pela definição recursiva de multiplicação,
. Substituindo obtemos
Assim chegamos exatamente a
o que completa o passo indutivo.
Passo 6
Conclusão do primeiro resultado:
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução matemática, a igualdade
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo
(e para quaisquer
fixos). Ou seja, provamos a distributividade à esquerda da multiplicação sobre a adição.
Passo 7
Agora vamos provar
por indução em
. Observação: a prova usará a mesma definição recursiva da multiplicação e as propriedades associativa/comutativa da adição para reorganizar termos.
Base da indução (
):
Pela definição, . Do outro lado,
. Logo
Pela definição,
Passo 8
Passo indutivo para
.
Hipótese indutiva: suponha que para um
já valha
Queremos mostrar que então vale para
:
Passo 9
Desenvolvimento do passo indutivo (detalhado):
Use a definição da multiplicação pelo sucessor:
Use a definição da multiplicação pelo sucessor:
Pela hipótese indutiva isso é
Agora aplicamos associatividade e comutatividade da adição para reorganizar os quatro termos
. Podemos, por exemplo, reescrever:
(Isto é permitido porque a adição é associativa e comutativa: basta agrupar e permutar as parcelas.)
Pela definição recursiva da multiplicação novamente, e
. Substituindo obtemos
Pela definição recursiva da multiplicação novamente,
Portanto
completando o passo indutivo.
Passo 10
Conclusão do segundo resultado:
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução, temos para todo e quaisquer
que
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução, temos para todo
Assim provamos a distributividade à direita da multiplicação sobre a adição.