Demonstre as propriedades da multiplicação, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
Distributiva: m(n+p)=m n+m p e(m+n) p=m p+n p

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição para todos os naturais \forall m,n,p \in \mathbb{N}. As igualdades que precisamos provar são, explicitamente:
m(n+p)=mn+mp
e
(m+n)p=mp+np.
Dados relevantes que o enunciado fornece ou que vamos usar: a multiplicação e a adição em \mathbb{N} são as operações usuais definidas recursivamente (ver passo seguinte). Não começaremos a provar nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e as informações disponíveis.

Passo 2

Definições e fatos básicos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • A adição em \mathbb{N} é uma operação comutativa e associativa e tem elemento neutro 0. Ou seja, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N} vale
a+b=b+a,\qquad (a+b)+c=a+(b+c),\qquad a+0=a.
Vou usar essas propriedades livremente quando for preciso reorganizar somas.
  • A multiplicação é definida por recorrência (definição padrão por soma iterada), para todo a,b\in\mathbb{N}:
a\cdot 0 = 0,
a\cdot (b+1) = a\cdot b + a.
Aqui a ideia é que multiplicar por b significa somar a com ele mesmo b vezes. Cada símbolo usado: a\cdot b ou simplesmente ab é o produto de a por b; o 0 é o zero natural; b+1 é o sucessor de b.
  • Método escolhido: usaremos indução matemática sobre o parâmetro que aparece como segundo fator da multiplicação (isto combina bem com a definição recursiva dada). Primeiro vamos provar m(n+p)=mn+mp por indução em p. Depois provaremos (m+n)p=mp+np também por indução em p.

Passo 3

Prova de \;m(n+p)=mn+mp\; por indução em p.
Base da indução ( p=0):
Usando que n+0=n e a definição m\cdot 0=0, temos
m(n+0)=m n.
Do outro lado,
mn + m0 = mn + 0 = mn.
Portanto a igualdade vale para p=0:
m(n+0)=mn+ m0.

Passo 4

Passo indutivo para \;m(n+p)=mn+mp\;.
Hipótese indutiva: suponha que para um p\in\mathbb{N} já valha
m(n+p)=mn+mp.
Queremos provar que então vale para p+1, isto é:
m(n+(p+1))=mn+m(p+1).

Passo 5

Desenvolvimento do passo indutivo (detalhado):
Começamos usando associatividade da adição para escrever n+(p+1)=(n+p)+1. Aplicando a definição recursiva da multiplicação (multiplicar por um sucessor):
m(n+(p+1)) = m\big((n+p)+1\big) = m(n+p) + m.
Agora aplicamos a hipótese indutiva m(n+p)=mn+mp:
m(n+p) + m = (mn + mp) + m.
Usando associatividade e comutatividade da adição, podemos agrupar:
(mn + mp) + m = mn + (mp + m).
Pela definição recursiva de multiplicação, mp + m = m(p+1). Substituindo obtemos
mn + (mp + m) = mn + m(p+1).
Assim chegamos exatamente a
m(n+(p+1)) = mn + m(p+1),
o que completa o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão do primeiro resultado:
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução matemática, a igualdade
m(n+p)=mn+mp
vale para todo p\in\mathbb{N} (e para quaisquer m,n\in\mathbb{N} fixos). Ou seja, provamos a distributividade à esquerda da multiplicação sobre a adição.

Passo 7

Agora vamos provar \;(m+n)p = mp + np\; por indução em p. Observação: a prova usará a mesma definição recursiva da multiplicação e as propriedades associativa/comutativa da adição para reorganizar termos.
Base da indução ( p=0):
Pela definição, (m+n)\cdot 0 = 0. Do outro lado, m\cdot 0 + n\cdot 0 = 0 + 0 = 0. Logo
(m+n)0 = m0 + n0.

Passo 8

Passo indutivo para \;(m+n)p = mp + np\;.
Hipótese indutiva: suponha que para um p\in\mathbb{N} já valha
(m+n)p = mp + np.
Queremos mostrar que então vale para p+1:
(m+n)(p+1) = m(p+1) + n(p+1).

Passo 9

Desenvolvimento do passo indutivo (detalhado):
Use a definição da multiplicação pelo sucessor:
(m+n)(p+1) = (m+n)p + (m+n).
Pela hipótese indutiva isso é
(m+n)p + (m+n) = (mp + np) + (m+n).
Agora aplicamos associatividade e comutatividade da adição para reorganizar os quatro termos mp + np + m + n. Podemos, por exemplo, reescrever:
(mp + np) + (m + n) = (mp + m) + (np + n).
(Isto é permitido porque a adição é associativa e comutativa: basta agrupar e permutar as parcelas.)
Pela definição recursiva da multiplicação novamente, mp + m = m(p+1) e np + n = n(p+1). Substituindo obtemos
(mp + m) + (np + n) = m(p+1) + n(p+1).
Portanto
(m+n)(p+1) = m(p+1) + n(p+1),
completando o passo indutivo.

Passo 10

Conclusão do segundo resultado:
Pela base e pelo passo indutivo, por princípio da indução, temos para todo p\in\mathbb{N} e quaisquer m,n\in\mathbb{N} que
(m+n)p = mp + np.
Assim provamos a distributividade à direita da multiplicação sobre a adição.

Resposta

m(n+p)=mn+mp
(m+n)p=mp+np

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