Demonstre as propriedades da multiplicação, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
Associatividade: m(n p)=(m n) p

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: provar que a multiplicação é associativa, ou seja,
\forall m,n,p\in\mathbb{N},\qquad m(n p)=(m n)p.
  • Dados relevantes (definições/hipóteses que usaremos):
    • Os números naturais m,n,p pertencem a \mathbb{N}.
    • A multiplicação está definida recursivamente (definição padrão baseada nos axiomas de Peano): \text{(M1)}\quad m\cdot 0 = 0
\text{(M2)}\quad m\cdot (q+1) = m\cdot q + m\quad\text{para todo }q\in\mathbb{N}.
  • A adição está definida recursivamente (definição padrão): \text{(A1)}\quad a+0 = a
\text{(A2)}\quad a+(q+1) = (a+q)+1\quad\text{para todo }q\in\mathbb{N}.
  • Observação: para provar a associatividade da multiplicação vamos precisar de duas propriedades auxiliares bem conhecidas e prováveis de já serem aceitas ou demonstradas antes: (i) associatividade da adição e (ii) distributividade da multiplicação sobre a adição à esquerda. Vou demonstrar ambas antes de usar na prova final.

Passo 2

Explicando a estratégia: vamos provar a propriedade usando provas por indução (princípio da indução sobre \mathbb{N}) e duas lemmas necessárias.
  • Princípio da indução (em palavras): para provar uma propriedade P(t) para todo t\in\mathbb{N} basta provar P(0) e provar que P(k)\Rightarrow P(k+1).
  • Plano:
    1. Provar a associatividade da adição: \forall a,b,c\in\mathbb{N},\\ (a+b)+c = a+(b+c).
    2. Provar a distributividade à esquerda: \forall m,a,b\in\mathbb{N},\\ m(a+b)=ma+mb.
    3. Usar a distributividade e a associatividade da adição para provar, por indução em p, que \forall m,n,p,\\ m(n p)=(m n)p.
Vou desenvolver cada item com detalhes e contas explicadas.

Passo 3

Lemma 1 — associatividade da adição.
Queremos provar:
\forall a,b,c\in\mathbb{N},\qquad (a+b)+c = a+(b+c).
Prova por indução em c.
  • Base c=0: usando (A1),
    (a+b)+0 = a+b
    e
    a+(b+0)=a+b.
    Logo (a+b)+0 = a+(b+0).
  • Passo indutivo: suponha que para um c fixo vale (a+b)+c = a+(b+c) para todos a,b. Queremos mostrar (a+b)+(c+1) = a+(b+(c+1)).
    Começamos por usar (A2) para reescrever os lados:
    (a+b)+(c+1) = \big((a+b)+c\big)+1
    e
    a+(b+(c+1)) = a+\big((b+c)+1\big).
    Pela hipótese indutiva temos (a+b)+c = a+(b+c). Substituindo:
    (a+b)+(c+1) = \big(a+(b+c)\big)+1.
    Agora aplicamos a definição da adição (A2) “ao contrário” para mover o +1:
    \big(a+(b+c)\big)+1 = a+\big((b+c)+1\big).
    Assim (a+b)+(c+1) = a+(b+(c+1)).
Portanto, por indução, a adição é associativa:
\forall a,b,c\in\mathbb{N},\\ (a+b)+c = a+(b+c).

Passo 4

Lemma 2 — distributividade da multiplicação à esquerda.
Queremos provar:
\forall m,a,b\in\mathbb{N},\qquad m(a+b) = ma + mb.
Prova por indução em b (fixando m,a arbitrários).
  • Base b=0: usando (A1) e (M1),
    m(a+0) = m a
    e
    ma + m0 = ma + 0 = ma.
    Logo m(a+0)=ma + m0.
  • Passo indutivo: suponha m(a+b) = ma + mb para um certo b. Queremos provar m(a+(b+1)) = ma + m(b+1).
    Use (A2) para escrever
    a+(b+1) = (a+b)+1,
    então por definição da multiplicação (M2),
    m(a+(b+1)) = m\big((a+b)+1\big) = m(a+b) + m.
    Pela hipótese indutiva m(a+b)=ma+mb, então
    m(a+(b+1)) = (ma+mb) + m.
    Pelo lado direito desejado,
    ma + m(b+1) = ma + (mb + m)\quad\text{(usando (M2) em }m(b+1)=mb+m\text{).}
    Agora aplicamos a associatividade da adição (Lemma 1) para reorganizar:
    (ma+mb)+m = ma+(mb+m).
    Assim m(a+(b+1)) = ma + m(b+1).
Portanto, por indução em b,
\forall m,a,b\in\mathbb{N},\qquad m(a+b)=ma+mb.

Passo 5

Agora provamos a associatividade da multiplicação propriamente dita:
\forall m,n,p\in\mathbb{N},\qquad m(n p)=(m n)p.
Faremos prova por indução em p (fixando m,n arbitrários).
  • Base p=0: usando (M1) e o fato de n\cdot 0 = 0,
    m(n\cdot 0) = m\cdot 0 = 0
    e
    (m n)\cdot 0 = 0.
    Logo m(n\cdot 0)=(mn)\cdot 0.
  • Passo indutivo: suponha que para um p fixo vale
    m(n p) = (m n)p.
    Queremos mostrar
    m\big(n(p+1)\big) = (m n)(p+1).
    Começamos transformando n(p+1) por (M2):
    n(p+1) = n p + n.
    Assim, o lado esquerdo é
    m\big(n(p+1)\big) = m\big(n p + n\big).
    Agora aplicamos a distributividade (Lemma 2) com a = n p e b = n:
    m\big(n p + n\big) = m(n p) + m n.
    Pela hipótese indutiva m(n p) = (m n)p, então
    m\big(n(p+1)\big) = (m n)p + m n.
    Aplicando a definição da multiplicação (M2) agora ao produto (m n)(p+1), temos
    (m n)(p+1) = (m n)p + m n.
    Portanto
    m\big(n(p+1)\big) = (m n)(p+1).
Assim, por indução em p, a propriedade vale para todo p. Como m,n foram arbitrários, concluímos:
\forall m,n,p\in\mathbb{N},\qquad m(n p)=(m n)p.

Resposta

\forall m,n,p\in\mathbb{N},\\ m(n p)=(m n)p

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