Demonstre as propriedades da multiplicação,
.
Existência do elemento neutro multiplicativo:
Existência do elemento neutro multiplicativo:
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a existência do elemento neutro multiplicativo, isto é, provar que para todo
vale
Informações e definições que vamos usar (essas são as hipóteses sobre os naturais e as operações, apresentadas de forma explícita porque são necessárias para a prova):
onde
é o sucessor de
(ou seja,
é o sucessor de
);
a adição é definida por
a adição é definida por
para todo
;
a multiplicação é definida por recursão no segundo fator:
a multiplicação é definida por recursão no segundo fator:
para todo
.
Estas definições são os dados com os quais vamos trabalhar; a prova consistirá em usar indução e as igualdades acima para obter o resultado pedido.
Estas definições são os dados com os quais vamos trabalhar; a prova consistirá em usar indução e as igualdades acima para obter o resultado pedido.
Passo 2
Rápida explicação da estratégia e de conceitos que usarei (sem resolver ainda): vou usar indução sobre
para provar cada uma das duas igualdades. Indução significa:
- mostrar a base (normalmente
); - assumir que a propriedade vale para um
genérico (hipóteses de indução); - então mostrar que vale para
.
Também vou usar duas consequências imediatas das definições que serão úteis e que explicarei: (i) a fórmulae (ii) a propriedade (para todo ), porque elas aparecem naturalmente ao manipular as definições acima.
Passo 3
Demonstro a identidade útil
. Lembremos que
. Então, usando a definição da adição,
Pela definição da adição também temos
. Substituindo em cima,
Esta é uma observação simples e será usada várias vezes (é a ideia de “somar 1 é aplicar o sucessor”).
Passo 4
Prova de
por indução em
.
Base (
):
pela definição da multiplicação . Tomando
,
pela definição da multiplicação
que é exatamente
quando
. Logo a base vale.
Passo indutivo:
assuma que para um qualquer vale
(hipótese de indução). Queremos mostrar
.
Usando a definição recursiva da multiplicação no segundo fator,
assuma que para um
Usando a definição recursiva da multiplicação no segundo fator,
Pela hipótese de indução
, logo
Pelo Passo 3 sabemos que
. Portanto
Assim, por indução, concluímos que para todo
vale
.
Passo 5
Antes de provar a segunda igualdade vou demonstrar a pequena propriedade usada na prova seguinte:
para todo
.
Prova por indução em
.
Base (
):
pela definição com
temos
. OK.
pela definição
Passo indutivo:
assuma . Então
assuma
pela definição de adição. Pela hipótese de indução
, então
Portanto, por indução,
para todo
. Esta identidade será usada para simplificar expressões do tipo
.
Passo 6
Prova de
por indução em
.
Base (
):
avaliamos . Como
, pela definição de multiplicação
avaliamos
Pela definição
temos
. Então
Usando a propriedade
do Passo 5 com
, obtemos
. Logo
, que é exatamente
quando
. A base vale.
Passo indutivo:
assuma . Queremos mostrar
.
Usando a definição de multiplicação com segundo fator ,
assuma
Usando a definição de multiplicação com segundo fator
Pela definição
temos
. Assim
Pela propriedade
demonstrada no Passo 5, isso dá
Portanto, por indução,
para todo
.
Passo 7
Resumo final das conclusões obtidas com as provas por indução:
- Para todo
temos . - Para todo
temos .
Isso mostra que
é realmente o elemento neutro multiplicativo nos naturais conforme as definições apresentadas.