Demonstre as propriedades da multiplicação, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
Existência do elemento neutro multiplicativo: 1 . n=n .1=n

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a existência do elemento neutro multiplicativo, isto é, provar que para todo n \in \mathbb{N} vale
1\cdot n = n \quad\text{e}\quad n\cdot 1 = n.
Informações e definições que vamos usar (essas são as hipóteses sobre os naturais e as operações, apresentadas de forma explícita porque são necessárias para a prova):
1 = S(0),
onde S é o sucessor de 0 (ou seja, 1 é o sucessor de 0);
a adição é definida por
a + 0 = a,\qquad a + S(b) = S(a + b)
para todo a,b\in\mathbb{N};
a multiplicação é definida por recursão no segundo fator:
m\cdot 0 = 0,\qquad m\cdot S(n) = m\cdot n + m
para todo m,n\in\mathbb{N}.
Estas definições são os dados com os quais vamos trabalhar; a prova consistirá em usar indução e as igualdades acima para obter o resultado pedido.

Passo 2

Rápida explicação da estratégia e de conceitos que usarei (sem resolver ainda): vou usar indução sobre n para provar cada uma das duas igualdades. Indução significa:
  • mostrar a base (normalmente n=0);
  • assumir que a propriedade vale para um n genérico (hipóteses de indução);
  • então mostrar que vale para S(n).
    Também vou usar duas consequências imediatas das definições que serão úteis e que explicarei: (i) a fórmula \,n+1 = S(n)\, e (ii) a propriedade 0+x = x (para todo x), porque elas aparecem naturalmente ao manipular as definições acima.

Passo 3

Demonstro a identidade útil \,n+1 = S(n)\,. Lembremos que 1 = S(0). Então, usando a definição da adição,
n + 1 = n + S(0) = S(n + 0).
Pela definição da adição também temos n + 0 = n. Substituindo em cima,
n + 1 = S(n).
Esta é uma observação simples e será usada várias vezes (é a ideia de “somar 1 é aplicar o sucessor”).

Passo 4

Prova de 1\cdot n = n por indução em n.
Base ( n=0):
pela definição da multiplicação m\cdot 0 = 0. Tomando m=1,
1\cdot 0 = 0,
que é exatamente n quando n=0. Logo a base vale.
Passo indutivo:
assuma que para um n qualquer vale 1\cdot n = n (hipótese de indução). Queremos mostrar 1\cdot S(n) = S(n).
Usando a definição recursiva da multiplicação no segundo fator,
1\cdot S(n) = 1\cdot n + 1.
Pela hipótese de indução 1\cdot n = n, logo
1\cdot S(n) = n + 1.
Pelo Passo 3 sabemos que n + 1 = S(n). Portanto
1\cdot S(n) = S(n).
Assim, por indução, concluímos que para todo n\in\mathbb{N} vale 1\cdot n = n.

Passo 5

Antes de provar a segunda igualdade vou demonstrar a pequena propriedade usada na prova seguinte: 0 + x = x para todo x\in\mathbb{N}.
Prova por indução em x.
Base ( x=0):
pela definição a + 0 = a com a=0 temos 0 + 0 = 0. OK.
Passo indutivo:
assuma 0 + x = x. Então
0 + S(x) = S(0 + x)
pela definição de adição. Pela hipótese de indução 0 + x = x, então
0 + S(x) = S(x).
Portanto, por indução, 0 + x = x para todo x. Esta identidade será usada para simplificar expressões do tipo 0 + y.

Passo 6

Prova de n\cdot 1 = n por indução em n.
Base ( n=0):
avaliamos 0\cdot 1. Como 1 = S(0), pela definição de multiplicação
0\cdot 1 = 0\cdot S(0) = 0\cdot 0 + 0.
Pela definição m\cdot 0 = 0 temos 0\cdot 0 = 0. Então
0\cdot 1 = 0 + 0.
Usando a propriedade 0 + x = x do Passo 5 com x=0, obtemos 0+0=0. Logo 0\cdot 1 = 0, que é exatamente n quando n=0. A base vale.
Passo indutivo:
assuma n\cdot 1 = n. Queremos mostrar S(n)\cdot 1 = S(n).
Usando a definição de multiplicação com segundo fator 1 = S(0),
S(n)\cdot 1 = S(n)\cdot S(0) = S(n)\cdot 0 + S(n).
Pela definição m\cdot 0 = 0 temos S(n)\cdot 0 = 0. Assim
S(n)\cdot 1 = 0 + S(n).
Pela propriedade 0 + x = x demonstrada no Passo 5, isso dá
S(n)\cdot 1 = S(n).
Portanto, por indução, n\cdot 1 = n para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 7

Resumo final das conclusões obtidas com as provas por indução:
  • Para todo n\in\mathbb{N} temos 1\cdot n = n.
  • Para todo n\in\mathbb{N} temos n\cdot 1 = n.
Isso mostra que 1 é realmente o elemento neutro multiplicativo nos naturais conforme as definições apresentadas.

Resposta

1\cdot n = n para todo n\in\mathbb{N}
n\cdot 1 = n para todo n\in\mathbb{N}

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