Obter o polinômio interpolador pelo método de interpolação polinomial para o seguinte conjunto de pontos ordenados;
|c|c| hline$x$ & $y$ hline 0,3 & 3,09 hline 1,5 & 17,25 hline 2,1 & 25,41 hline
0,3 3,09
1,5 17,25
2,1 25,41

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial juntos! O que a gente tem aqui são três pontos ordenados: (0,3; 3,09), (1,5; 17,25) e (2,1; 25,41). Nosso objetivo é encontrar um polinômio que passe exatamente por esses três pontos usando o método de interpolação polinomial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra, principalmente como montar e resolver um sistema de equações para descobrir os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de interpolação que passa por três pontos tem grau 2, ou seja, é um polinômio quadrático. A forma geral desse polinômio é:
P(x) = ax^2 + bx + c
Onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, para encontrar esses coeficientes, vamos usar os valores dos pontos fornecidos. Substituímos cada par 3.09 = a(0.3)^2 + b(0.3) + c na equação do polinômio:
Para o primeiro ponto (0.3, 3.09):
17.25 = a(1.5)^2 + b(1.5) + c
Para o segundo ponto (1.5, 17.25):
25.41 = a(2.1)^2 + b(2.1) + c
Para o terceiro ponto (2.1, 25.41):

Passo 4

Vamos simplificar essas equa�es:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ).

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos optar pelo método da substituição aqui para manter as coisas simples.
Primeiro, reescrevemos a primeira equação para isolarmos c = 3.09 - 0.09a - 0.3b :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão para 17.25 = 2.25a + 1.5b + (3.09 - 0.09a - 0.3b) nas outras duas equações:
Para a segunda equação:
17.25 = 2.16a + 1.2b + 3.09
Simplificando:
17.25 - 3.09 = 2.16a + 1.2b
14.16 = 2.16a + 1.2b
25.41 = 4.41a + 2.1b + (3.09 - 0.09a - 0.3b)
Para a terceira equação:
25.41 = 4.32a + 1.8b + 3.09
Simplificando:
25.41 - 3.09 = 4.32a + 1.8b
22.32 = 4.32a + 1.8b

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
  1. 14.16 times 1.5 = 2.16a times 1.5 + 1.2b times 1.5
  2. 21.24 = 3.24a + 1.8b
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 1.5 para facilitar a eliminação:
22.32 - 21.24 = (4.32a - 3.24a) + (1.8b - 1.8b)
1.08 = 1.08a
Agora, temos:
  1. a = 1
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 8

Com o valor de 14.16 = 2.16(1) + 1.2b , substituímos de volta na primeira equação simplificada:
14.16 - 2.16 = 1.2b
12 = 1.2b
b = 10

Passo 9

Agora que temos c = 3.09 - 0.09(1) - 0.3(10) e c = 3.09 - 0.09 - 3 , voltamos à expressão que encontramos para c = 0 :

Resposta

O polinômio interpolador é:
P(x) = 1x^2 + 10x + 0
Ou simplificando:
P(x) = x^2 + 10x

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