Obter o polinômio interpolador pelo método de interpolação polinomial para o seguinte conjunto de pontos ordenados;
0,3
3,09
1,5
17,25
2,1
25,41
|
|
0,3 | 3,09 |
1,5 | 17,25 |
2,1 | 25,41 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial juntos! O que a gente tem aqui são três pontos ordenados: (0,3; 3,09), (1,5; 17,25) e (2,1; 25,41). Nosso objetivo é encontrar um polinômio que passe exatamente por esses três pontos usando o método de interpolação polinomial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra, principalmente como montar e resolver um sistema de equações para descobrir os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de interpolação que passa por três pontos tem grau 2, ou seja, é um polinômio quadrático. A forma geral desse polinômio é:
Onde
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, para encontrar esses coeficientes, vamos usar os valores dos pontos fornecidos. Substituímos cada par
na equação do polinômio:
Para o primeiro ponto (0.3, 3.09):
Para o segundo ponto (1.5, 17.25):
Para o terceiro ponto (2.1, 25.41):
Passo 4
Vamos simplificar essas equa�es:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (
,
,
).
Passo 5
Para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição ou da matriz. Vamos optar pelo método da substituição aqui para manter as coisas simples.
Primeiro, reescrevemos a primeira equação para isolarmos
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão para
nas outras duas equações:
Para a segunda equação:
Simplificando:
Para a terceira equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 1.5 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 8
Com o valor de
, substituímos de volta na primeira equação simplificada:
Passo 9
Agora que temos
e
, voltamos à expressão que encontramos para
:
Resposta
O polinômio interpolador é:
Ou simplificando: