Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a sequência
e o objetivo é ver se ela converge (e, se sim, pra que valor) ou se diverge. Esse é um exercício de limite de sequência. Para resolver, vamos usar dois pontos principais da teoria:
- O limite clássico
. - O Teorema do Confronto (squeeze theorem), que permite “espremer” nossa sequência entre duas outras que a gente já conhece o limite.
Passo 2
Primeiro, lembra que para ângulos pequenos (em radianos) vale bem essa aproximação informal:
Mas, mais formalmente, a gente tem
Mas, mais formalmente, a gente tem
Agora faz a troca
. Quando
,
. Então
Isso já dá um bom indício de que o limite é 1, mas ainda vamos deixar redondinho com o Teorema do Confronto.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Confronto, a gente lembra das desigualdades para
:
Substitui
:
Agora multiplica tudo por
:
Quando
, o termo
. Então tanto o limite de
quanto o de
é igual a 1. Pelo Teorema do Confronto, fica
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é