Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a sequência
an = n,sin!l(tfrac1nr)
e o objetivo é ver se ela converge (e, se sim, pra que valor) ou se diverge. Esse é um exercício de limite de sequência. Para resolver, vamos usar dois pontos principais da teoria:
  1. O limite clássico .
  2. O Teorema do Confronto (squeeze theorem), que permite “espremer” nossa sequência entre duas outras que a gente já conhece o limite.

Passo 2

Primeiro, lembra que para ângulos pequenos (em radianos) vale bem essa aproximação informal:
limxto0sin xx=1
Mas, mais formalmente, a gente tem
sin(1/n)1/n;longrightarrow;1 Longrightarrow n,sin!l(tfrac1nr);longrightarrow;1
Agora faz a troca . Quando , . Então
Isso já dá um bom indício de que o limite é 1, mas ainda vamos deixar redondinho com o Teorema do Confronto.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Confronto, a gente lembra das desigualdades para x - x^36;<=;sin x;<=;x :
1n - 16n^3;<=;sin!l(tfrac1nr);<=;1n
Substitui 1 - 16n^2;<=;n,sin!l(tfrac1nr);<=;1 :
limntoinftyn,sin!l(tfrac1nr);=;1
Agora multiplica tudo por :
Quando , o termo . Então tanto o limite de quanto o de é igual a 1. Pelo Teorema do Confronto, fica

Resposta

A sequência boxed1 é convergente e seu limite é

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