Demonstre por representação de áreas de figuras planas, o Teorema de Pitágoras:
Passo 1
Então, o enunciado pede pra demonstrar, por área de figuras planas, o Teorema de Pitágoras. O conteúdo é Geometria plana (área de quadrados e triângulos) e a ideia é mostrar que o quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo tem área igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos. Para isso, vamos precisar das fórmulas:
• Área do quadrado de lado é
.
• Área do triângulo de base e altura
é
.
• Área do quadrado de lado
• Área do triângulo de base
Passo 2
Vamos fazer um grande quadrado de lado
, onde
e
são os comprimentos dos catetos, e desenhar dentro dele quatro cópias do triângulo retângulo (catetos
e
, hipotenusa
), deixando no centro um quadrado de lado
. Ficaria assim por cima (vista aérea):
[quadrado de lado
→ quatro triângulos retângulos nos cantos + um quadrado central de lado
]
Passo 3
Agora, calculemos a área desse grande quadrado de duas maneiras. Primeiro, diretamente:
Passo 4
A segunda forma é somar as peças internas:
• Temos 4 triângulos iguais, cada um com área , logo todas as quatro somam
• Temos 4 triângulos iguais, cada um com área
• E temos o quadrado central de lado
, com área
.
Então,
Passo 5
Basta igualar as duas expressões da área total:
Agora simplifica, cancelando o
dos dois lados:
Resposta
A demonstração via áreas mostra que, em todo triângulo retângulo,
que é exatamente o Teorema de Pitágoras.