Determine uma aproximação para a raiz da seguinte função, pelo método da bissecção, com epsilon <= 0.005 ou até n=4, sendo n o número de iterações. Avalie a precisão utilizando |f(xn)| ou |xn-xn-1|.
f(x)=x^2+sin (x)-5, no intervalo [1.2,2.4].

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente ache aproximadamente a raiz de
f(x)=x^2+sin(x)-5
no intervalo [1.2,2.4] usando o método da bissecção, parando quando o erro for epsilon<=0.005 ou quando fizermos n=4 iterações.
Conteúdo: método da bissecção (a função tem que ser contínua e trocar de sinal no intervalo). Vamos precisar de:
1) Checar f(a),f(b)<0.
2) A cada iteração, calcular o ponto médio xn=a+b2.
3) Verificar em qual sub-intervalo a raiz está (pela troca de sinal).
4) Calcular o critério de parada: |f(xn)|<=epsilon ou |xn-xn-1|<=epsilon.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se dá para aplicar a bissecção:
f(1.2)=1.2^2+sin(1.2)-5approx1.44+0.932-5=-2.628
f(2.4)=2.4^2+sin(2.4)-5approx5.76+0.675-5=1.435
Como f(1.2)times f(2.4)<0, tem raiz em [1.2,2.4].

Passo 3

Iteração 1 ( n=1):
x1=1.2+2.42=1.8
f(1.8)=1.8^2+sin(1.8)-5approx3.24+0.974-5=-0.786
Negativo, então a raiz está em [1.8,2.4].
Erro em valor de função: |f(1.8)|approx0.786>0.005.
Como não temos x0, a gente não checa |x1-x0|.

Passo 4

Iteração 2 ( n=2), novo intervalo [1.8,2.4]:
x2=1.8+2.42=2.1
f(2.1)=2.1^2+sin(2.1)-5approx4.41+0.863-5=0.273
Positivo, raiz em [1.8,2.1].
Erro em função: |f(2.1)|approx0.273>0.005.
Erro em sequência: |x2-x1|=|2.1-1.8|=0.3>0.005.

Passo 5

Iteração 3 ( n=3), intervalo [1.8,2.1]:
x3=1.8+2.12=1.95
f(1.95)=1.95^2+sin(1.95)-5approx3.8025+0.928-5=-0.2695
Negativo, raiz em [1.95,2.1].
Erro em função: |f(1.95)|approx0.2695>0.005.
Erro em sequência: |x3-x2|=|1.95-2.1|=0.15>0.005.

Passo 6

Iteração 4 ( n=4), intervalo [1.95,2.1]:
x4=1.95+2.12=2.025
f(2.025)=2.025^2+sin(2.025)-5approx4.1006+0.8968-5=-0.0026
Negativo, logo raiz em [2.025,2.1], mas já atingimos n=4.
Erro em função: |f(2.025)|approx0.0026<=0.005.
Erro em sequência: |x4-x3|=|2.025-1.95|=0.075>0.005, mas como já temos |f(x4)|<=epsilon, dá pra parar.

Resposta

Aproximação da raiz em n=4 iterações (ou até |f(xn)|<=0.005) é
boxedxapprox2.025com f(2.025)approx-0.0026

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