Determine um intervalo que contenha uma das soluções da seguinte equação e confirme se o intervalo possui uma única raiz.
f(x)=x-cos (x)

Passo 1

Beleza, tamo com a função
f(x) = x - cos(x)
O que a gente quer?
  1. Achar um intervalo que contenha uma solução (uma raiz) de .
  2. Confirmar que nesse intervalo só tem essa única raiz.
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) pra garantir existência de raiz quando troca de sinal, e teste de monotonicidade (derivada) pra ver se a raiz é única.
O que vamos precisar:
  • Calcular em dois pontos e ver se há mudança de sinal.
  • Saber que é contínua (já que soma e subtração de e é contínua).
  • Calcular a derivada e mostrar que não muda de sinal (pra garantir que é sempre crescente ou decrescente).

Passo 2

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário:
  1. Avalia em f(0) = 0 - cos(0) = -1 :
f(1) = 1 - cos(1)approx 1 - 0,5403 = +0,4597
  1. Avalia em :
Como e , há troca de sinal.
Pelo TVI, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora a gente precisa ver se tem só uma raiz nesse intervalo.
Calcula a derivada:
f'(x) = ddx(x) - ddx(cos x) = 1 + sin(x)
No intervalo f'(x) = 1 + sin(x) >= 1 > 0 , , então
Ou seja, é estritamente crescente em . Uma função contínua e estritamente crescente só pode cruzar o zero uma vez. Logo, tem exatamente uma raiz aí.

Resposta

O intervalo contém uma solução de , e como em todo o intervalo, essa raiz é única.

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