Determine um intervalo que contenha uma das soluções da seguinte equação e confirme se o intervalo possui uma única raiz.
Passo 1
Beleza, tamo com a função
O que a gente quer?
- Achar um intervalo que contenha uma solução (uma raiz) de
. - Confirmar que nesse intervalo só tem essa única raiz.
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) pra garantir existência de raiz quando troca de sinal, e teste de monotonicidade (derivada) pra ver se a raiz é única.
O que vamos precisar:
- Calcular
em dois pontos e ver se há mudança de sinal. - Saber que
é contínua (já que soma e subtração de e é contínua). - Calcular a derivada
e mostrar que não muda de sinal (pra garantir que é sempre crescente ou decrescente).
Passo 2
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário:
- Avalia em
:
- Avalia em
:
Como
e
, há troca de sinal.
Pelo TVI, existe pelo menos uma raiz em .
Pelo TVI, existe pelo menos uma raiz em
Passo 3
Agora a gente precisa ver se tem só uma raiz nesse intervalo.
Calcula a derivada:
Calcula a derivada:
No intervalo
,
, então
Ou seja,
é estritamente crescente em
. Uma função contínua e estritamente crescente só pode cruzar o zero uma vez. Logo, tem exatamente uma raiz aí.
Resposta
O intervalo
contém uma solução de
, e como
em todo o intervalo, essa raiz é única.