A dependência e a independência linear referem-se à forma como os vetores de um conjunto estão relacionados, indicando se um vetor pode ou não ser representado como uma combinação linear dos outros vetores presentes no conjunto. Considere que três vetores em R^3, u=(1,1,2), v=(1,4,1) e w=(a, 0, b), com a, b in R, sejam linearmente independentes.
Logo, a e b são valores reais, tais que

Passo 1

Beleza, antes de meter a mão na massa, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem três vetores em ℝ³:
vec u=(1,1,2), vec v=(1,4,1), vec w=(a,0,b)
E a ideia é achar para quais valores de e esses três vetores são linearmente independentes. O conteúdo envolvido é “dependência e independência linear” em ℝ³, e o que vamos precisar é saber que, para três vetores serem independentes, o determinante da matriz que eles formam não pode ser zero.

Passo 2

Teoria na prática: vetores lambdavec u+muvec v+nuvec w=vec 0 são linearmente independentes se a única solução do sistema
for . Numéricamente, isso rola exatamente quando o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores é diferente de zero.

Passo 3

Vamos montar essa matriz colocando M= 1 & 1 & a 1 & 4 & 0 2 & 1 & b como colunas:
A independência linear rola se e somente se .

Passo 4

Hora de revisar “calculando determinante” em ℝ³:
det(M) =1cdotdet!4&01&b -1cdotdet!1&02&b +acdotdet!1&42&1

Passo 5

Bora calcular cada pedacinho:
  • 4&01&b
  • 1&02&b
  • 1&42&1
Logo
det(M)=1cdot(4b)-1cdot(b)+acdot(-7)=4b-b-7a=3b-7a
Para ter independência, precisa de .

Resposta

Os vetores são linearmente independentes quando
3b-7aneq0,
ou, equivalentemente,
7aneq3bl(ou bneqtfrac73ar)

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