Os espaços vetoriais têm aplicações em muitas áreas que envolvem dados, sistemas dinâmicos, otimização e modelagem. Para que um conjunto de vetores seja um espaço vetorial deve satisfazer algumas condições. Observe, por exemplo os conjuntos de vetores A=(a, 2 a, 4 a): a in R ; B=(1, y, z): y, z in R ; C=(x, x+4): x in R e . Quais desses conjuntos são espaços vetoriais reais?

Passo 1

Beleza, o enunciado quer saber quais desses conjuntos são espaços vetoriais reais (na prática, subespaços de algum ℝⁿ ou do espaço de matrizes 2×2). A teoria básica que a gente vai usar é o teste de subespaço: um conjunto V é subespaço se, e só se,
  1. V contém o vetor zero;
  2. V é fechado sob soma: se u,v ∈ V, então u+v ∈ V;
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar: se u ∈ V e α ∈ ℝ, então αu ∈ V.

Passo 2

Conjunto A = { (a,2a,4a) : a ∈ ℝ }.
Esse é o conjunto de todos os múltiplos do vetor (1,2,4).
  1. Zero: basta tomar a=0 para obter (0,0,0). Tá dentro.
  2. Soma: (a₁,2a₁,4a₁)+(a₂,2a₂,4a₂) = (a₁+a₂, 2(a₁+a₂), 4(a₁+a₂)), que é do mesmo tipo, com “a = a₁+a₂”.
  3. Escalar: α·(a,2a,4a) = (αa,2αa,4αa), que também tem forma (a′,2a′,4a′) com a′=αa.
    Logo A é subespaço, ou seja, espaço vetorial.

Passo 3

Conjunto B = { (1,y,z) : y,z ∈ ℝ }.
  1. Zero: (0,0,0) não está em B, pois o primeiro componente tem que ser 1.
    Sem zero já dá problema, mas veja:
  2. Soma de (1,y₁,z₁)+(1,y₂,z₂) = (2,y₁+y₂,z₁+z₂) que tem primeiro componente 2, não 1.
    Então não é fechado.
    Conclusão: B não é espaço vetorial.

Passo 4

Conjunto C = { (x, x+4) : x ∈ ℝ }.
  1. Zero: (0,0) precisaria vir de x tal que (x,x+4)=(0,0) ⇒ x=0 e x+4=0⇒4=0, impossível. Zero não está lá.
  2. Mesmo se fosse, a soma de (x₁,x₁+4)+(x₂,x₂+4) = (x₁+x₂, x₁+x₂ +8) não volta a ter “+4” como no original, e sim “+8”.
    Logo falha em fechar.
    Conclusão: C não é espaço vetorial.

Passo 5

Conjunto D = { [ [a, a+b]; [a, b] ] : a,b ∈ ℝ }.
Denote M(a,b)= a & a+ba & b.
  1. Zero: M(0,0)= 0&00&0 está lá.
  2. Soma: M(a,b)+M(c,d)=M(a+c,;b+d), porque
    a+c & (a+b)+(c+d)a+c & b+d
    = a+c & (a+c)+(b+d)a+c & b+d.
  3. Escalar: α·M(a,b)=M(αa,αb).
    Tudo fecha certinho.
    Conclusão: D também é espaço vetorial.

Resposta

Os conjuntos que são espaços vetoriais reais são A e D.

Exercícios relacionados