As hipérboles e elipses fazem parte do grupo das cônicas, que são formas geométricas formadas a partir de cortes em um cone. São aplicadas em muitas áreas como astronomia, física, engenharia e arquitetura. Analise as afirmativas a seguir a respeito desse tipo de figuras e classifique com V, para as sentenças verdadeiras, e F, para as falsas.
( )
representa uma hipérbole com centro
( )
representa uma elipse com centro
( )
representa uma hipérbole de excentricidade
A sequência correta, de cima para baixo, é
( )
( )
( )
A sequência correta, de cima para baixo, é
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra testar três equações de cônicas (hipérboles ou elipses), dizendo se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Isso é assunto de Geometria Analítica: a gente vai
- completar quadrados pra colocar a equação na forma padrão,
- identificar o tipo (elipse ou hipérbole),
- encontrar o centro e, no caso de hipérbole, calcular a excentricidade.
Pra resolver, o truque é “completar quadrado” em
e em
, depois comparar com as formas canonicas:
- Elipse:
- Hipérbole:
(ou vice-versa)
E centro é. Bora lá!
Passo 2
Análise de
.
- Agrupa e fatoramos:
- Completa quadrado:
- Substitui e organiza:
3(x+3)2-27;-;(y-4)2+16+38=0
][
3(x+3)2-(y-4)2+27=0
][
3(x+3)2-(y-4)2=-27
][
\frac{(y-4)2}{27}-\frac{(x+3)2}{9}=1.
]
]
Isso é hipérbole com centro
. Logo, a afirmativa é Verdadeira (V).
Passo 3
Análise de
.
- Agrupa:
- Completa quadrado:
- Substitui:
4(x+1)2-4-9(y-1)2+9-5=0
][
4(x+1)2-9(y-1)2=0
][
4(x+1)2=9(y-1)2.
]
]
Isso não é elipse (é uma hipérbole degenerada em duas retas) e o centro está em
, não em
. Então é Falsa (F).
Passo 4
Análise de
.
- Reescreve:
Isso é claramente uma hipérbole de parâmetros
,
.
2) Excentricidade de hipérbole (transversal no x) é
2) Excentricidade de hipérbole (transversal no x) é
Eles disseram
, que não bate. Logo, é Falsa (F).
Resposta
A sequência correta é: V, F, F.