As hipérboles e elipses fazem parte do grupo das cônicas, que são formas geométricas formadas a partir de cortes em um cone. São aplicadas em muitas áreas como astronomia, física, engenharia e arquitetura. Analise as afirmativas a seguir a respeito desse tipo de figuras e classifique com V, para as sentenças verdadeiras, e F, para as falsas.
( ) 3 x^2-y^2+18 x+8 y+38=0 representa uma hipérbole com centro O(-3,4)
( ) 4 x^2-9 y^2+8 x+18 y-5=0 representa uma elipse com centro O(-3,10)
( ) 3 x^2-4 y^2-36=0 representa uma hipérbole de excentricidade raiz175
A sequência correta, de cima para baixo, é

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra testar três equações de cônicas (hipérboles ou elipses), dizendo se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Isso é assunto de Geometria Analítica: a gente vai
  1. completar quadrados pra colocar a equação na forma padrão,
  2. identificar o tipo (elipse ou hipérbole),
  3. encontrar o centro e, no caso de hipérbole, calcular a excentricidade.
Pra resolver, o truque é “completar quadrado” em e em , depois comparar com as formas canonicas:
  • Elipse:
  • Hipérbole: (ou vice-versa)
    E centro é . Bora lá!

Passo 2

Análise de 3(x^2+6x);-;(y^2-8y);+;38=0 .
  1. Agrupa e fatoramos:
x^2+6x=(x+3)^2-9, y^2-8y=(y-4)^2-16
  1. Completa quadrado:
3l((x+3)^2-9r);-;l((y-4)^2-16r)+38=0
  1. Substitui e organiza:
3(x+3)^2-27;-;(y-4)^2+16+38=0 [
3(x+3)2-27;-;(y-4)2+16+38=0
][
3(x+3)2-(y-4)2+27=0
][
3(x+3)2-(y-4)2=-27
][
\frac{(y-4)2}{27}-\frac{(x+3)2}{9}=1.
]
Isso é hipérbole com centro 3(x+3)^2-(y-4)^2+27=0 . Logo, a afirmativa é Verdadeira (V).

Passo 3

Análise de 4(x^2+2x);-;9(y^2-2y);-5=0 .
  1. Agrupa:
x^2+2x=(x+1)^2-1, y^2-2y=(y-1)^2-1
  1. Completa quadrado:
4l((x+1)^2-1r)-9l((y-1)^2-1r)-5=0
  1. Substitui:
4(x+1)^2-4-9(y-1)^2+9-5=0 [
4(x+1)2-4-9(y-1)2+9-5=0
][
4(x+1)2-9(y-1)2=0
][
4(x+1)2=9(y-1)2.
]
Isso não é elipse (é uma hipérbole degenerada em duas retas) e o centro está em 4(x+1)^2-9(y-1)^2=0 , não em 4(x+1)^2=9(y-1)^2 . Então é Falsa (F).

Passo 4

Análise de 3x^2-4y^2=36;Longrightarrow;x^212-y^29=1 .
  1. Reescreve:
e=raiz1+b^2a^2 =raiz1+912 =raiz2112 =raiz212
Isso é claramente uma hipérbole de parâmetros , .
2) Excentricidade de hipérbole (transversal no x) é
Eles disseram , que não bate. Logo, é Falsa (F).

Resposta

A sequência correta é: V, F, F.

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