Uma transformação linear pode levar vetores de um espaço para outro preservando a estrutura linear, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. Considere a transformação linear T: R^2 R^3, tal que T(1,1)=(1,2,3) e T(1,2)=(4,1,0).
A imagem de (1,0) pela transformação T é

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma transformação linear
T:R^2 to R^3
que satisfaz
T(1,1) = (1,2,3) e T(1,2) = (4,1,0)
Queremos achar a imagem de por .
Conteúdo: transformação linear e sistema linear.
O que vamos usar:
  • Propriedade de linearidade: e .
  • Resolver um sistema de equações para encontrar e .

Passo 2

Vamos chamar
e1 = (1,0), e2 = (0,1), A = T(e1), B = T(e2)
Como T(1,1) = T(e1+e2) = A + B = (1,2,3) tag1 , pela linearidade:
T(1,2) = T(e1 + 2e2) = A + 2B = (4,1,0) tag2
E como :

Passo 3

Agora temos o sistema de vetores:
A + B = (1,2,3) A + 2B = (4,1,0)
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(A + 2B) - (A + B) = B = (4,1,0) - (1,2,3) = (3,-1,-3)
Então
B = T(e2) = (3,-1,-3)

Passo 4

Usando A = (1,2,3) - B = (1,2,3) - (3,-1,-3) = (-2,3,6) , temos
A = T(e1) = T(1,0) = (-2,3,6)
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Resposta

T(1,0) = (-2,,3,,6)

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