A depreciação de um ativo, por exemplo, uma máquina, um veículo ou equipamento é frequentemente modelada por uma equação diferencial de primeira ordem. Suponha que a taxa de variação do valor V(t) de um ativo ao longo do tempo t seja proporcional ao valor atual V(t). A equação que descreve esse processo é:
d Vd t=-k V
onde:
  • V(t) é o valor do ativo no tempo t
  • ké uma constante de depreciação (taxa de depreciação).
    Suponha que o valor inicial do ativo seja V(0)=50,000 e a taxa de depreciação anual seja 10 % ao ano. Determine o valor do ativo após 5 anos.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que o valor de um ativo V(t) decai a uma taxa proporcional ao próprio valor, ou seja
dVdt = -k,V
Isso é um modelo de equação diferencial de primeira ordem (decrescimento exponencial). Temos:
  • Condição inicial .
  • Taxa de depreciação .
    O que vamos precisar: aprender a separar variáveis, integrar para achar a solução geral e depois usar a condição inicial pra achar a constante. Depois basta calcular .

Passo 2

Separamos variáveis para integrar:
dVV = -k,dt
A ideia é colocar tudo que envolve de um lado e do outro.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dVV = integral -k,dt Longrightarrow ln|V| = -k,t + C,
onde é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando para achar ln|V| = -k,t + C Longrightarrow |V| = e^,ln|V| = e^-k,t + C = e^C,e^-k,t:
V(t)=C1,e^-k,t,
Como , podemos escrever
sendo .

Passo 5

Usamos a condição inicial V(0)=C1,e^-kcdot0=C1=50,000 para achar V(t)=50,000,e^-0,1,t:
V(5)=50,000,e^-0,1cdot5 =50,000,e^-0,5
Então a solução é
Para anos:

Resposta

boxedV(5)=50,000,e^-0,5approx30,326,5

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