A depreciação de um ativo, por exemplo, uma máquina, um veículo ou equipamento é frequentemente modelada por uma equação diferencial de primeira ordem. Suponha que a taxa de variação do valor
de um ativo ao longo do tempo
seja proporcional ao valor atual
. A equação que descreve esse processo é:
onde:
-
é o valor do ativo no tempo
- ké uma constante de depreciação (taxa de depreciação).
Suponha que o valor inicial do ativo seja
e a taxa de depreciação anual seja
ao ano. Determine o valor do ativo após 5 anos.
Suponha que o valor inicial do ativo seja
Passo 1
Beleza, o exercício diz que o valor de um ativo V(t) decai a uma taxa proporcional ao próprio valor, ou seja
Isso é um modelo de equação diferencial de primeira ordem (decrescimento exponencial). Temos:
- Condição inicial
. - Taxa de depreciação
.
O que vamos precisar: aprender a separar variáveis, integrar para achar a solução geral e depois usar a condição inicial pra achar a constante. Depois basta calcular.
Passo 2
Separamos variáveis para integrar:
A ideia é colocar tudo que envolve
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponenciando para achar
:
Como
, podemos escrever
sendo
.
Passo 5
Usamos a condição inicial
para achar
:
Então a solução é
Para
anos: