Durante um processo de soldagem, a temperatura da peça T(t) varia de acordo com a equação:
d Td t=0.2(100-T)
Onde T(t) é a temperatura em ^circ C e o valor 100 é a temperatura do forno onde a soldagem ocorre.
Calcule a temperatura da peça após 15 minutos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que durante a soldagem a temperatura da peça T(t) obedece à EDO
dTdt=0.2l(100 - Tr),
onde o forno está a 100 °C. Para resolver isso, a gente vai usar teoria de equações diferenciais de 1ª ordem (EDO separável).
O que a gente precisa:
  1. Identificar a EDO como separável.
  2. Integrar para achar T(t).
  3. Usar a condição inicial T(0) – que não foi dada, então vou supor que a peça começa à temperatura ambiente, digamos T(0)=20;^circC.
  4. Calcular T(15) plugando t=15,min.

Passo 2

Vamos separar as variáveis. A EDO é
dTdt=0.2,(100-T)
Separamos em
dT100-T = 0.2,dt

Passo 3

Agora integramos dos dois lados:
integral dT100-T = integral 0.2,dt
Lembrando que -ln|100-T| = 0.2,t + C1 . Então

Passo 4

Isolamos o logaritmo e exponenciamos:
ln|100-T| = -0.2,t + C2 Longrightarrow |100-T| = K e^-0.2,t,
onde 100 - T = K,e^-0.2t Longrightarrow T(t)=100 - K,e^-0.2t . Como esperamos , tiramos o valor absoluto:

Passo 5

Usamos a condição inicial T(0)=100 - K,e^0=20 Longrightarrow K = 100 - 20 = 80 :
T(t)=100 - 80,e^-0.2t
Logo a solução é

Passo 6

Basta pôr T(15)=100 - 80,e^-0.2cdot15 =100 - 80,e^-3 minutos:
e^-3approx0.0498 Longrightarrow T(15)approx100 - 80cdot0.0498approx96.0;^circC
Se você quiser um número, dá

Resposta

A temperatura da peça após 15 minutos é
boxedT(15)=100 - 80,e^-3approx96,0;^circC

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