Em um sistema de controle de vibração, a carga acumulada em um capacitor Q(t) no circuito RC segue a equação diferencial:
d Qd t=-QR C
onde R=2 Omega e C=0,1. Se a carga inicial Q(0)=10 C, calcule a carga Q(t) após 5 segundos

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um circuito RC onde a carga no capacitor dQdt = -QR,C obedece à equação diferencial
com , e condição inicial .
Conteúdo: circuitos RC e solução de equações diferenciais de 1ª ordem por separação de variáveis.
O que vamos usar:
  • Técnica de separação de variáveis.
  • Integração de e de uma constante.
  • Condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

A gente começa isolando tudo que tem dQdt = -1R,C,Q Longrightarrow dQQ = -dtR,C de um lado e tudo que tem do outro.
Isso se chama separação de variáveis.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dQQ = integral -dtR,C Longrightarrow lnl|Qr| = -tR,C + K,
onde é a constante de integração.

Passo 4

Usando ln|Q(0)| = ln(10) = -0R,C + K ;Longrightarrow;K = ln(10) :
lnl|Q(t)r| = -tR,C + ln(10) ;Longrightarrow; Q(t) = 10 ,e^-,t/(R,C)
Então

Passo 5

Substituindo R,C = 2 times 0,1 = 0,2, -tR,C = -50,2 = -25 , Q(5) = 10,e^-25 e Q(5)approx 1,39times10^-10,C :
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Se quiser aproximar, , então

Resposta

boxedQ(5) = 10,e^-25 Capprox 1,39times10^-10,C

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