Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-3 para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível: G(x)=x^3-3 x+3 em [-3,-2]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar uma raiz de

no intervalo , usando o método do ponto fixo, com erro .
Então o conteúdo é:
  1. transformar num formato ;
  2. checar se o método converge (ou seja, no intervalo);
  3. iterar , até .

Passo 2

Primeiro a gente define
f(x)=x^3-3x+3=0
Reorganizando,
x^3=3x-3 Longrightarrow x = g(x) = raiz[3],3x-3,
O método do ponto fixo usa a iteração
xn+1=g(xn)
Pra garantir convergência, precisamos que seja “contrátil” em .

Passo 3

Vamos checar a derivada:
g(x)= (3x-3)^1/3 Longrightarrow g'(x) = tfrac13(3x-3)^-2/3cdot3 = (3x-3)^-2/3
No nosso intervalo |g'(x)| = |3x-3|^-2/3 , varia de a , logo
fica entre e , sempre menor que 1.
Ou seja, tá jóia: o método vai convergir.

Passo 4

Agora escolhemos um chute inicial, digamos xn+1 = raiz[3]3xn-3 . Vamos iterar
x1 = raiz[3]3(-2,5)-3 = raiz[3]-10,5 approx -2,1898,
até x2 = raiz[3]3(-2,1898)-3 = raiz[3]-9,5694 approx -2,1240, .
Cálculos:
x3 = raiz[3]3(-2,1240)-3 = raiz[3]-9,3720 approx -2,1080,
x4 = raiz[3]3(-2,1080)-3 = raiz[3]-9,3240 approx -2,1054,
x5 = raiz[3]3(-2,1054)-3 = raiz[3]-9,3162 approx -2,1048
|x5 - x4| approx | -2,1048 +2,1054 | = 0,0006 < 10^-3
Repare que
Pronto, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada (com erro menor que boxedx approx -2,105, ) é

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