A derivada direcional representa a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Observe a função f(x, y, z)=x^2+3 y^2-z^2, diferenciável no ponto P=(1,1,1), e considere um vetor u=2 i+j-k.
Qual é o valor da derivada direcional de f no ponto P e na direção e sentido do vetor u ?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá assim: temos a função
f(x,y,z)=x^2+3y^2-z^2
no ponto e queremos a derivada direcional de em na direção do vetor .
Isso faz parte de cálculo vetorial – mais especificamente, derivadas direcionais.
Para resolver a gente vai precisar de:
1) A definição de gradiente e derivada direcional;
2) Calcular ;
3) Normalizar ;
4) Fazer o produto escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente de nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) . O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=6y, partial fpartial z=-2z
Como nabla f(1,1,1) = (2cdot1,;6cdot1,;-2cdot1) = (2,,6,,-2) , temos
Logo, em :

Passo 3

Agora, precisamos do vetor unitário na direção de |boldsymbol u| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4+1+1 = raiz6 .
A norma de widehatboldsymbol u = 1raiz6(2,,1,,-1) é
Então o vetor unitário é

Passo 4

A definição de derivada direcional é
Dwidehat uf(P) = nabla f(P),cdot,widehatboldsymbol u
Então fazemos o produto escalar:
(2,6,-2);cdot;1raiz6(2,1,-1) = 1raiz6l(2cdot2 + 6cdot1 + (-2)cdot(-1)r) = 1raiz6(4 + 6 + 2) = 12raiz6 = 2raiz6

Resposta

A derivada direcional de boxed2raiz6 em na direção do vetor é

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