A derivada direcional representa a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Observe a função
, diferenciável no ponto
, e considere um vetor
.
Qual é o valor da derivada direcional de
no ponto
e na direção e sentido do vetor
?
Qual é o valor da derivada direcional de
Passo 1
Beleza, o enunciado tá assim: temos a função
no ponto
Isso faz parte de cálculo vetorial – mais especificamente, derivadas direcionais.
Para resolver a gente vai precisar de:
1) A definição de gradiente e derivada direcional;
2) Calcular
3) Normalizar
4) Fazer o produto escalar
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Como
, temos
Logo, em
:
Passo 3
Agora, precisamos do vetor unitário na direção de
.
A norma de é
A norma de
Então o vetor unitário é
Passo 4
A definição de derivada direcional é
Então fazemos o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção do vetor
é