Imagens digitais podem ser representadas como matrizes, onde cada elemento (ou pixel) da imagem tem um valor numérico que representa a intensidade ou cor do pixel. Essas matrizes podem ser muito grandes, especialmente quando lidamos com imagens de alta resolução. Nesse contexto, o uso de autovetores e autovalores contribui para reduzir a quantidade de dados, mantendo as informações essenciais das matrizes. Considere a matriz quadrada A, de ordem 3, definida por:
Um autovetor associado ao autovalor A=[lll 1 & 0 & 0 2 & 4 & 0 0 & 1 & 4 ] é

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar um autovetor de uma matriz de ordem 3 que corresponde ao autovalor . O conteúdo aqui é Autovalores e Autovetores, mais especificamente como montar e resolver o sistema . Para isso vamos precisar de:
  1. Saber o que é matriz identidade ,
  2. Subtrair de ,
  3. Resolver o sistema linear homogêneo resultante.

Passo 2

Relembrando a definição: um vetor A,v ;=;lambda,v é autovetor de (A-lambda I),v ;=; 0, associado a se
Isso é equivalente a
que é um sistema homogêneo de três equações para as componentes de .

Passo 3

Vamos calcular I = 1&0&00&1&00&0&1, . A matriz identidade de ordem 3 é
A - I ;=; 1&0&0 2&4&0 0&1&4 - 1&0&0 0&1&0 0&0&1 = 0&0&0 2&3&0 0&1&3
então
[
A - I ;=;

-

.
]

Passo 4

Agora montamos o sistema 0cdot x1 + 0cdot x2 + 0cdot x3 = 0, 2x1 + 3x2 + 0cdot x3 = 0, 0cdot x1 + 1x2 + 3x3 = 0 :
2x1 + 3x2 = 0, x2 + 3x3 = 0
As equações não-triviais são

Passo 5

Da segunda equação vem
x2 = -3,x3
Substituindo em 2x1 + 3(-3x3) = 0 Longrightarrow 2x1 -9x3 = 0 Longrightarrow x1 = tfrac92,x3 :
x1 = tfrac92times 2 = 9, x2 = -3times 2 = -6, x3 = 2
Como podemos escolher o parâmetro livre para simplificar, vamos bater . Aí:

Resposta

Um autovetor associado a 9-62 é, por exemplo,

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