As séries convergentes possuem diversas aplicações na matemática e em outras áreas do conhecimento. Podem ser usadas para aproximar funções, modelar fenômenos físicos e calcular integrais complexas. Considere a série convergente dada por
sumk=1^infty(23^k-32^k-1)
A soma da série resulta em

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma série infinita
sumk=1^inftyl(23^k-32^k-1r)
O assunto é soma de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar da fórmula básica:
sumn=0^inftyar^n=a1-r,se |r|<1
A ideia é: usar linearidade (separar em duas somas) e aplicar a fórmula de cada parte.

Passo 2

Primeiro, usamos que soma de diferença é diferença de somas:
sumk=1^inftyl(tfrac23^k-tfrac32^k-1r) =sumk=1^infty23^k;-;sumk=1^infty32^k-1
Agora vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 3

Calcular S1=2sumk=1^inftyl(tfrac13r)^k .
  1. A gente reconhece série geométrica com termo geral sumk=1^infty r^k = sumn=0^infty r^n+1 = r,sumn=0^infty r^n = r1-r .
  2. Aqui é mais fácil escrever como sumk=1^inftyl(tfrac13r)^k =tfrac131-tfrac13 =tfrac13tfrac23 =tfrac12
  3. Ajustando o índice para usar a fórmula S1 = 2cdottfrac12=1 : Aqui , então
  4. Multiplicando pelo 2 que estava lá:

Passo 4

Calcular S2=3sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n .
  1. Note que sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n =11-tfrac12 =2 .
  2. Definindo S2=3cdot2=6 , quando temos , e vai até . Então
  3. Como com , dá
  4. Logo

Passo 5

Voltando à diferença:
sumk=1^inftyl(tfrac23^k-tfrac32^k-1r) = S1 - S2 = 1 - 6 = -5

Resposta

A soma da série é .

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