As séries convergentes possuem diversas aplicações na matemática e em outras áreas do conhecimento. Podem ser usadas para aproximar funções, modelar fenômenos físicos e calcular integrais complexas. Considere a série convergente dada por
A soma da série resulta em
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma série infinita
O assunto é soma de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar da fórmula básica:
A ideia é: usar linearidade (separar em duas somas) e aplicar a fórmula de cada parte.
Passo 2
Primeiro, usamos que soma de diferença é diferença de somas:
Agora vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 3
Calcular
.
- A gente reconhece série geométrica com termo geral
. - Aqui é mais fácil escrever como
- Ajustando o índice para usar a fórmula
: Aqui , então - Multiplicando pelo 2 que estava lá:
Passo 4
Calcular
.
- Note que
. - Definindo
, quando temos , e vai até . Então - Como
com , dá - Logo
Passo 5
Voltando à diferença:
Resposta
A soma da série é
.