Projeto de Barragem: Uma estrutura de contenção possui massa
e rigidez do solo
. Qual deve ser o amortecimento
exato adicionado pelos engenheiros para que não ocorram oscilações em caso de impacto (Amortecimento Crítico)?
Se na barragem do exercício anterior os engenheiros colocarem um amortecimento de apenas
, o que acontecerá com a estrutura após um impacto? Descreva fisicamente.
Se na barragem do exercício anterior os engenheiros colocarem um amortecimento de apenas
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
- Dados fornecidos:
- Massa:
. - Rigidez do solo (constante elástica):
.
- Massa:
- Perguntas:
- Qual deve ser o amortecimento
exato para que não ocorram oscilações após um impacto (ou seja, o amortecimento crítico)? - Se os engenheiros colocarem
, o que acontecerá com a estrutura após um impacto? Descrever fisicamente.
- Qual deve ser o amortecimento
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento linear para uma massa presa a uma mola com amortecimento viscoso:
Explicando cada termo (bem devagar, tipo explicação de amigo):
-
é o deslocamento da estrutura em função do tempo. -
é a força de inércia (massa vezes aceleração). -
é a força dissipativa (amortecimento viscoso proporcional à velocidade); tem dimensões de massa por tempo (unidade ). -
é a força elástica (proporcional ao deslocamento).
Passo 3
Para estudar o comportamento livre (após o impacto, sem forças externas), procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação diferencial obtemos a equação característica:
As raízes
determinam o tipo de resposta. O discriminante é
Classificação (o que cada caso significa fisicamente):
- Se
: duas raízes reais negativas (se ) → sistema superamortecido (sem oscilações, retorno lento ao equilíbrio). - Se
: raízes reais iguais → amortecimento crítico (retorno ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar). - Se
: raízes complexas conjugadas → subamortecido (oscilações com amplitude decrescente).
Passo 4
Condição do amortecimento crítico:
. Assim,
Esta é a fórmula padrão para o amortecimento crítico. Aqui cada símbolo significa:
-
é a massa, -
é a rigidez, -
é o coeficiente de amortecimento viscoso que queremos achar.
Passo 5
Calculemos numericamente usando
e
.
então
Portanto o valor exato do amortecimento crítico é
(unidade:
).
Passo 6
Agora analisamos o caso
. Como
, o discriminante fica negativo e o sistema é subamortecido, logo ocorrerão oscilações amortecidas. Vamos quantificar isso para entender melhor a física:
Definimos a frequência natural não amortecida
Com os números:
A taxa de decaimento exponencial (parte real das raízes) é
A frequência de oscilações amortecidas (frequência angular das oscilações) é
A solução geral (forma física) do deslocamento livre será da forma
onde
e
dependem das condições iniciais (no caso de um impacto,
e
serão determinados pela velocidade/posição iniciais aplicadas pela pancada).
Passo 7
Interpretando os números (sem medo, só fatos):
- A parte exponencial é
. Isso significa que a amplitude das oscilações decai com constante de tempo
Em outras palavras, a amplitude diminui por um fator
a cada
s.
- A frequência das oscilações é
, logo o período é
- Apesar de oscilar (porque
), a amplitude decai muito rápido: após um período a amplitude é multiplicada por , ou seja, praticamente zero. Então as oscilações serão visíveis imediatamente após o impacto, mas desaparecerão em poucos segundos.
Passo 8
Descrição física do que vai acontecer com a barragem se
:
- Após o impacto a barragem vai oscilar em torno da posição de equilíbrio, cruzando a posição de equilíbrio repetidas vezes (movimento oscilatório).
- Essas oscilações serão amortecidas: a cada oscilação a amplitude diminui, seguindo a envelopante exponencial
. - Na prática, haverá algumas oscilações rápidas e fortemente atenuadas logo após o impacto; depois de 1–2 segundos a amplitude já será praticamente desprezível.
- Conclusão física simples: com
não se evita oscilações, mas elas são rapidamente amortecidas; para evitar qualquer oscilação (retorno ao equilíbrio sem oscilar) seria necessário (amortecimento crítico) ou maior (sobreamortecimento, sem oscilações, porém retorno mais lento).
Resposta
Para
: sistema subamortecido — surgirão oscilações amortecidas com
e decaimento exponencial com taxa
(constante de tempo
).