Projeto de Barragem: Uma estrutura de contenção possui massa m=1 e rigidez do solo k=25. Qual deve ser o amortecimento \gamma exato adicionado pelos engenheiros para que não ocorram oscilações em caso de impacto (Amortecimento Crítico)?
Se na barragem do exercício anterior os engenheiros colocarem um amortecimento de apenas \gamma=6, o que acontecerá com a estrutura após um impacto? Descreva fisicamente.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Massa: m=1.
    • Rigidez do solo (constante elástica): k=25.
  • Perguntas:
    1. Qual deve ser o amortecimento \gamma exato para que não ocorram oscilações após um impacto (ou seja, o amortecimento crítico)?
    2. Se os engenheiros colocarem \gamma=6, o que acontecerá com a estrutura após um impacto? Descrever fisicamente.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento linear para uma massa presa a uma mola com amortecimento viscoso:
m\ddot{x}+\gamma\dot{x}+kx=0.
Explicando cada termo (bem devagar, tipo explicação de amigo):
  • x(t) é o deslocamento da estrutura em função do tempo.
  • m\ddot{x} é a força de inércia (massa vezes aceleração).
  • \gamma\dot{x} é a força dissipativa (amortecimento viscoso proporcional à velocidade); \gamma tem dimensões de massa por tempo (unidade \text{kg/s}).
  • kx é a força elástica (proporcional ao deslocamento).

Passo 3

Para estudar o comportamento livre (após o impacto, sem forças externas), procuramos soluções da forma x(t)=\mathrm{e}^{r t}. Substituindo na equação diferencial obtemos a equação característica:
m r^{2} + \gamma r + k = 0.
As raízes r determinam o tipo de resposta. O discriminante é
\Delta=\gamma^{2}-4mk.
Classificação (o que cada caso significa fisicamente):
  • Se \Delta>0: duas raízes reais negativas (se \gamma>0) → sistema superamortecido (sem oscilações, retorno lento ao equilíbrio).
  • Se \Delta=0: raízes reais iguais → amortecimento crítico (retorno ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar).
  • Se \Delta<0: raízes complexas conjugadas → subamortecido (oscilações com amplitude decrescente).

Passo 4

Condição do amortecimento crítico: \Delta=0. Assim,
\gamma^{2}-4mk=0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=2\sqrt{mk}.
Esta é a fórmula padrão para o amortecimento crítico. Aqui cada símbolo significa:
  • m é a massa,
  • k é a rigidez,
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento viscoso que queremos achar.

Passo 5

Calculemos numericamente usando m=1 e k=25.
\sqrt{mk}=\sqrt{1\cdot25}=\sqrt{25}=5,
então
\gamma_{\text{crítico}}=2\cdot 5=10.í
Portanto o valor exato do amortecimento crítico é \gamma=10 (unidade: \text{kg/s}).

Passo 6

Agora analisamos o caso \gamma=6. Como \gamma=6<\gamma_{\text{crítico}}=10í, o discriminante fica negativo e o sistema é subamortecido, logo ocorrerão oscilações amortecidas. Vamos quantificar isso para entender melhor a física:
Definimos a frequência natural não amortecida
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Com os números:
\omega_{n}=\sqrt{\frac{25}{1}}=5\\ \text{rad/s}.
A taxa de decaimento exponencial (parte real das raízes) é
\frac{\gamma}{2m}=\frac{6}{2\cdot1}=3\\ \text{s}^{-1}.
A frequência de oscilações amortecidas (frequência angular das oscilações) é
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{n}^{2}-\left(\frac{\gamma}{2m}\right)^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\\ \text{rad/s}.
A solução geral (forma física) do deslocamento livre será da forma
x(t)=A\,\mathrm{e}^{-(\gamma/(2m))t}\cos\!\big(\omega_{d}t-\varphi\big),
onde A e \varphi dependem das condições iniciais (no caso de um impacto, A e \varphi serão determinados pela velocidade/posição iniciais aplicadas pela pancada).

Passo 7

Interpretando os números (sem medo, só fatos):
  • A parte exponencial é \mathrm{e}^{-3t}. Isso significa que a amplitude das oscilações decai com constante de tempo
\tau=\frac{1}{3}\\ \text{s}\approx0{,}333\\ \text{s}.
Em outras palavras, a amplitude diminui por um fator \mathrm{e} a cada 0{,}333 s.
  • A frequência das oscilações é \omega_{d}=4\\ \text{rad/s}, logo o período é
T=\frac{2\pi}{\omega_{d}}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \text{s}\approx1{,}571\\ \text{s}.
  • Apesar de oscilar (porque \gamma<\gamma_{\text{crítico}}í), a amplitude decai muito rápido: após um período T a amplitude é multiplicada por \mathrm{e}^{-3T}=\mathrm{e}^{-3\cdot1{,}571}\approx\mathrm{e}^{-4{,}713}\approx0{,}009, ou seja, praticamente zero. Então as oscilações serão visíveis imediatamente após o impacto, mas desaparecerão em poucos segundos.

Passo 8

Descrição física do que vai acontecer com a barragem se \gamma=6:
  • Após o impacto a barragem vai oscilar em torno da posição de equilíbrio, cruzando a posição de equilíbrio repetidas vezes (movimento oscilatório).
  • Essas oscilações serão amortecidas: a cada oscilação a amplitude diminui, seguindo a envelopante exponencial \mathrm{e}^{-3t}.
  • Na prática, haverá algumas oscilações rápidas e fortemente atenuadas logo após o impacto; depois de 1–2 segundos a amplitude já será praticamente desprezível.
  • Conclusão física simples: com \gamma=6 não se evita oscilações, mas elas são rapidamente amortecidas; para evitar qualquer oscilação (retorno ao equilíbrio sem oscilar) seria necessário \gamma=10 (amortecimento crítico) ou maior (sobreamortecimento, sem oscilações, porém retorno mais lento).

Resposta

\gamma_{\text{crítico}}=10\\ \text{kg/s}í
Para \gamma=6: sistema subamortecido — surgirão oscilações amortecidas com \omega_{d}=4\\ \text{rad/s} e decaimento exponencial com taxa \gamma/(2m)=3\\ \text{s}^{-1} (constante de tempo \tau=1/3\\ \text{s}).

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