Um motor de bomba de sucção opera sobre uma estrutura leve (
), mas o motor exerce uma força constante equivalente a 8 unidades. A EDO fica:
. Encontre a solução particular
. Para qual valor a estrutura vai se deslocar quando estabilizar?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
As perguntas são:
- Encontrar a solução particular
da equação. - Determinar para qual valor a estrutura se desloca quando estabilizar (ou seja, o limite de
quando ).
Informações relevantes fornecidas:
- Força externa é constante e equivalente a
(termo forçante da EDO). - Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral terá constantes arbitrárias; para o deslocamento em regime estacionário só é necessário o termo particular e o comportamento do homogêneo quando
.
Passo 2
Primeiro vamos achar a solução geral do problema por partes: a solução geral é a soma da solução homogênea
e de uma solução particular
. Para isso precisamos da solução da equação homogênea associada:
A forma padrão é procurar soluções
. Substituindo obtemos a equação característica
Essa é uma quadrática que pode ser escrita como
, portanto tem raiz dupla
Passo 3
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução homogênea é da forma
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais (não fornecidas aqui). Explico rapidamente de onde vem: para raiz simples
usa-se
; para raiz dupla
a segunda solução independente é
.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação não-homogênea
Método escolhido: método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A regra prática: se o termo forçante é uma função simples (polinômio, exponencial, seno/cosseno), tenta-se uma solução particular do mesmo tipo. Aqui o forçante é a constante
(polinômio de grau 0), então tentamos uma solução particular constante:
onde
é uma constante a determinar.
Passo 5
Antes de substituir, verificamos se a tentativa entra em conflito com a solução homogênea (resonância). Uma constante corresponde à função
, i.e. raiz
da característica. Como a equação característica tem raiz
(dupla) e não tem
, não há conflito: tentar
é adequado.
Passo 6
Substituindo
na equação:
Devemos igualar ao lado direito
, então
Portanto a solução particular é
Passo 7
Escrevendo a solução geral da EDO:
Passo 8
Agora respondemos a segunda pergunta: para qual valor a estrutura vai se deslocar quando estabilizar? Isso é o limite quando
de
. Observamos que
portanto a parte homogênea tende a zero:
Assim
Interpretação física rápida: após transientes decaírem (amortecimento por
), a estrutura permanece deslocada uma distância constante igual à amplitude da força estacionária, aqui
unidades.
Resposta
O deslocamento quando estabilizar é