Um motor de bomba de sucção opera sobre uma estrutura leve ( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 ), mas o motor exerce uma força constante equivalente a 8 unidades. A EDO fica: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=8. Encontre a solução particular Y_{p}(t). Para qual valor a estrutura vai se deslocar quando estabilizar?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
y''+2y'+y=8.
As perguntas são:
  • Encontrar a solução particular Y_{p}(t) da equação.
  • Determinar para qual valor a estrutura se desloca quando estabilizar (ou seja, o limite de y(t) quando t\to\infty).
Informações relevantes fornecidas:
  • Força externa é constante e equivalente a 8 (termo forçante da EDO).
  • Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral terá constantes arbitrárias; para o deslocamento em regime estacionário só é necessário o termo particular e o comportamento do homogêneo quando t\to\infty.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução geral do problema por partes: a solução geral é a soma da solução homogênea y_h(t) e de uma solução particular Y_p(t). Para isso precisamos da solução da equação homogênea associada:
y''+2y'+y=0.
A forma padrão é procurar soluções y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+2r+1=0.
Essa é uma quadrática que pode ser escrita como (r+1)^2=0, portanto tem raiz dupla
r=-1 \quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 3

Quando a equação característica tem raiz dupla r=-1, a solução homogênea é da forma
y_h(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas por condições iniciais (não fornecidas aqui). Explico rapidamente de onde vem: para raiz simples r usa-se e^{rt}; para raiz dupla r a segunda solução independente é t e^{rt}.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular Y_p(t) da equação não-homogênea
y''+2y'+y=8.
Método escolhido: método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A regra prática: se o termo forçante é uma função simples (polinômio, exponencial, seno/cosseno), tenta-se uma solução particular do mesmo tipo. Aqui o forçante é a constante 8 (polinômio de grau 0), então tentamos uma solução particular constante:
Y_p(t)=A,
onde A é uma constante a determinar.

Passo 5

Antes de substituir, verificamos se a tentativa entra em conflito com a solução homogênea (resonância). Uma constante corresponde à função e^{0t}, i.e. raiz r=0 da característica. Como a equação característica tem raiz r=-1 (dupla) e não tem r=0, não há conflito: tentar Y_p=A é adequado.

Passo 6

Substituindo Y_p(t)=A na equação:
Y_p'' + 2Y_p' + Y_p = 0 + 0 + A = A.
Devemos igualar ao lado direito 8, então
A = 8.
Portanto a solução particular é
Y_p(t)=8.

Passo 7

Escrevendo a solução geral da EDO:
y(t)=y_h(t)+Y_p(t)=\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-t} + 8.

Passo 8

Agora respondemos a segunda pergunta: para qual valor a estrutura vai se deslocar quando estabilizar? Isso é o limite quando t\to\infty de y(t). Observamos que
\lim_{t\to\infty} e^{-t}=0\quad\text{e}\quad\lim_{t\to\infty} t e^{-t}=0,
portanto a parte homogênea tende a zero:
\lim_{t\to\infty}\big(C_1 + C_2 t\big)e^{-t}=0.
Assim
\lim_{t\to\infty} y(t)=8.
Interpretação física rápida: após transientes decaírem (amortecimento por 2y'), a estrutura permanece deslocada uma distância constante igual à amplitude da força estacionária, aqui 8 unidades.

Resposta

Y_p(t)=8
O deslocamento quando estabilizar é 8 unidades.

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