Desafio de Engenharia de Risco: Uma barragem de contenção de rejeitos entra em ressonância obedecendo à lei
. Os parâmetros da estrutura são
ton,
e a força induzida é
. Sabendo que o limite máximo de deslocamento tolerável pelas vigas é de
metros, calcule em quantos segundos
a barragem atingirá o colapso estrutural.
Passo 1
O enunciado dá a lei do deslocamento e pede em quanto tempo a barragem atinge o colapso (quando o deslocamento atinge o limite máximo tolerável). Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Lei do deslocamento:
- Massa:
- Frequência natural:
- Força induzida:
- Limite máximo de deslocamento:
O que o problema pede:
- Encontrar o menor tempo positivo
tal que o deslocamento atinja o limite, ou seja, o menor que satisfaça .
Passo 2
Primeiro converto todas as grandezas para o SI (quilogramas e newtons) para evitar confusão de unidades.
- Massa:
, logo
- Força:
, logo
Agora calculo o fator multiplicativo que aparece na lei:
Substituindo os valores:
Portanto a expressão fica simplificada para
Passo 3
Com a forma simplificada, o colapso ocorre quando
Vou procurar o menor
que satisfaça isso. Uma observação útil: como
, tem-se
. Logo é necessário que
. Isso já dá um piso inicial no tempo: o colapso não ocorre antes de
.
A equação
(procuramos a primeira solução positiva) é transcendente — não há solução analítica fechada — então precisamos de um método numérico (bissecção, secante ou Newton). Vou usar um procedimento simples e robusto: bissecção, com algumas avaliações para estreitar o intervalo.
Passo 4
Defino a função
Busco o menor
com
.
Avalio em alguns pontos para achar um intervalo em que o sinal mude (isso garante existência de raiz por Teorema do Valor Intermediário):
- Em
:
logo
Então
.
- Os instantes em que
ocorrem quando , isto é . O primeiro desses maior que 5 é para :
nesse instante
. Assim
. Portanto existe pelo menos uma raiz em
.
Para estreitar, testo alguns pontos intermediários:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Agora a raiz está em
. Continuo a bissecção:
-
: , , .
Então raiz em
.
-
: , , .
Raiz em
.
-
: , , .
Raiz em
.
-
: , , .
Raiz em
.
-
: , , .
-
: , desloc. do múltiplo de , .
Entre
(g negativo) e
(g positivo) a raiz está. Fazendo uma interpolação linear rápida entre esses dois valores:
- Em
temos . - Em
temos .
Interpolando a raiz:
Portanto, com precisão adequada para uma resposta de engenharia, o primeiro instante em que
atinge
é aproximadamente
.
Passo 5
Interpretação física curta e motivadora: a lei mostrou que o fator de amplitude
é igual a 1, então o envelope da amplitude cresce proporcionalmente a
. Em ressonância forçada sem amortecimento essa amplitude cresce e, após cerca de
, o deslocamento ultrapassa o limite de
— por isso a estrutura colapsa. Dá para reduzir esse tempo exigindo amortecimento, reduzindo a força aplicada ou alterando a massa/frequência natural.