Desafio de Engenharia de Risco: Uma barragem de contenção de rejeitos entra em ressonância obedecendo à lei y(t)=\left(\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}\right) t \sin \left(\omega_{0} t\right). Os parâmetros da estrutura são m=1000 ton, \omega_{0}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e a força induzida é F_{0}=4000 \mathrm{kN}. Sabendo que o limite máximo de deslocamento tolerável pelas vigas é de y_{\max }=5 metros, calcule em quantos segundos t a barragem atingirá o colapso estrutural.

Passo 1

O enunciado dá a lei do deslocamento e pede em quanto tempo a barragem atinge o colapso (quando o deslocamento atinge o limite máximo tolerável). Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Lei do deslocamento: y(t)=\left(\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}\right) t \sin\left(\omega_{0} t\right).
  • Massa: m=1000\\ \text{ton}.
  • Frequência natural: \omega_{0}=2\\ \text{rad/s}.
  • Força induzida: F_{0}=4000\\ \text{kN}.
  • Limite máximo de deslocamento: y_{\max}=5\\ \text{m}.
O que o problema pede:
  • Encontrar o menor tempo positivo t tal que o deslocamento atinja o limite, ou seja, o menor t>0 que satisfaça |y(t)|=5\\ \text{m}.

Passo 2

Primeiro converto todas as grandezas para o SI (quilogramas e newtons) para evitar confusão de unidades.
  • Massa: 1\\ \text{ton}=1000\\ \text{kg}, logo
m=1000\\ \text{ton}=1000\times1000\\ \text{kg}=10^{6}\\ \text{kg}.
  • Força: 1\\ \text{kN}=10^{3}\\ \text{N}, logo
F_{0}=4000\\ \text{kN}=4000\times10^{3}\\ \text{N}=4\times10^{6}\\ \text{N}.
Agora calculo o fator multiplicativo que aparece na lei:
A=\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}.
Substituindo os valores:
A=\frac{4\times10^{6}}{2\cdot 10^{6}\cdot 2}=\frac{4\times10^{6}}{4\times10^{6}}=1.
Portanto a expressão fica simplificada para
y(t)=t\sin(2t).

Passo 3

Com a forma simplificada, o colapso ocorre quando
|t\sin(2t)|=5.
Vou procurar o menor t>0 que satisfaça isso. Uma observação útil: como |\sin(2t)|\le 1, tem-se |t\sin(2t)|\le t. Logo é necessário que t\ge 5. Isso já dá um piso inicial no tempo: o colapso não ocorre antes de t=5\\ \text{s}.
A equação t\sin(2t)=5 (procuramos a primeira solução positiva) é transcendente — não há solução analítica fechada — então precisamos de um método numérico (bissecção, secante ou Newton). Vou usar um procedimento simples e robusto: bissecção, com algumas avaliações para estreitar o intervalo.

Passo 4

Defino a função
g(t)=t\sin(2t)-5.
Busco o menor t>0 com g(t)=0.
Avalio em alguns pontos para achar um intervalo em que o sinal mude (isso garante existência de raiz por Teorema do Valor Intermediário):
  • Em t=5:
\sin(2\cdot5)=\sin(10)\approx -0,5440,
logo
g(5)=5\cdot(-0,5440)-5\approx -2,720-5=-7,720.
Então g(5)<0.
  • Os instantes em que \sin(2t)=1 ocorrem quando 2t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n, isto é t=\tfrac{\pi}{4}+\pi n. O primeiro t desses maior que 5 é para n=2:
t=\frac{\pi}{4}+2\pi\approx 0{,}785+6{,}283\approx 7{,}068\\ \text{s},
nesse instante t\sin(2t)=7{,}068>5. Assim g(7{,}068)>0. Portanto existe pelo menos uma raiz em (5,\;7{,}068).
Para estreitar, testo alguns pontos intermediários:
  • Em t=6:
\sin(12)\approx -0,5366,\qquad g(6)=6\cdot(-0,5366)-5\approx -3,2196-5=-8,2196\\ (<0).
  • Em t=6{,}5:
2t=13,\quad 13-4\pi\approx0{,}434,\quad \sin(13)\approx0{,}4210,
g(6{,}5)=6{,}5\cdot0{,}4210-5\approx2{,}7365-5=-2{,}2635\\ (<0).
  • Em t=7:
2t=14,\quad 14-4\pi\approx1{,}434,\quad \sin(14)\approx0{,}9900,
g(7)=7\cdot0{,}9900-5\approx6{,}930-5=1{,}930\\ (>0).
Agora a raiz está em (6{,}5,\;7). Continuo a bissecção:
  • t=6{,}75: 2t=13{,}5, 13{,}5-4\pi\approx0{,}934, \sin(13{,}5)\approx0{,}803.
g(6{,}75)=6{,}75\cdot0{,}803-5\approx5{,}423-5=0{,}423\\ (>0).
Então raiz em (6{,}5,\;6{,}75).
  • t=6{,}625: 2t=13{,}25, 13{,}25-4\pi\approx0{,}684, \sin(13{,}25)\approx0{,}633.
g(6{,}625)=6{,}625\cdot0{,}633-5\approx4{,}195-5=-0{,}805\\ (<0).
Raiz em (6{,}625,\;6{,}75).
  • t=6{,}6875: 2t=13{,}375, 13{,}375-4\pi\approx0{,}809, \sin(13{,}375)\approx0{,}723.
g(6{,}6875)=6{,}6875\cdot0{,}723-5\approx4{,}834-5=-0{,}166\\ (<0).
Raiz em (6{,}6875,\;6{,}75).
  • t=6{,}71875: 2t=13{,}4375, 13{,}4375-4\pi\approx0{,}869, \sin(13{,}4375)\approx0{,}764.
g(6{,}71875)=6{,}71875\cdot0{,}764-5\approx5{,}128-5=0{,}128\\ (>0).
Raiz em (6{,}6875,\;6{,}71875).
  • t=6{,}703125: 2t=13{,}40625, 13{,}40625-4\pi\approx0{,}839, \sin(13{,}40625)\approx0{,}743.
g(6{,}703125)=6{,}703125\cdot0{,}743-5\approx4{,}981-5=-0{,}019\\ (<0).
  • t=6{,}7109375: 2t=13{,}421875, desloc. do múltiplo de 2\pi \approx0{,}854, \sin\approx0{,}753.
g(6{,}7109375)=6{,}7109375\cdot0{,}753-5\approx5{,}054-5=0{,}054\\ (>0).
Entre 6{,}703125 (g negativo) e 6{,}7109375 (g positivo) a raiz está. Fazendo uma interpolação linear rápida entre esses dois valores:
  • Em t=6{,}703125 temos g\approx -0{,}019.
  • Em t=6{,}7109375 temos g\approx +0{,}054.
Interpolando a raiz:
t_{\text{raiz}}\approx 6{,}703125 + \frac{0{,}019}{0{,}019+0{,}054}\cdot(6{,}7109375-6{,}703125) \approx 6{,}703125 + \frac{0{,}019}{0{,}073}\cdot0{,}0078125\approx 6{,}7029\\ \text{s}.
Portanto, com precisão adequada para uma resposta de engenharia, o primeiro instante em que |y(t)| atinge 5\\ \text{m} é aproximadamente t\approx 6{,}703\\ \text{s}.

Passo 5

Interpretação física curta e motivadora: a lei mostrou que o fator de amplitude A é igual a 1, então o envelope da amplitude cresce proporcionalmente a t. Em ressonância forçada sem amortecimento essa amplitude cresce e, após cerca de 6{,}7\\ \text{s}, o deslocamento ultrapassa o limite de 5\\ \text{m} — por isso a estrutura colapsa. Dá para reduzir esse tempo exigindo amortecimento, reduzindo a força aplicada ou alterando a massa/frequência natural.

Resposta

t\approx 6{,}703\\ \text{s}

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