\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão - Seja o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6\end{array}\right.
Utilizando o Método de Jacobi, resolva o sistema com x^{0}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=10^{-5}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e pede para resolvê-lo usando o Método de Jacobi, começando em [x^{0}=\left( \begin{array}{c}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{array}\right)) e parando quando a tolerância for \varepsilon=10^{-5}.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6, \end{cases} \qquad x^{0}=\begin{pmatrix}0,7\\[2pt]-1,6\\[2pt]0,6\end{pmatrix}, \qquad \varepsilon=10^{-5}.
O que o problema pede:
  • Aplicar o Método de Jacobi a partir de x^{0}\]. - Iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas (critério que usaremos abaixo) seja menor que \(\varepsilon.
    - Entregar a solução aproximada final.]

Passo 2

O que é o Método de Jacobi (explicação prática e a fórmula que usaremos).
Ideia simples: isolamos cada incógnita na sua própria equação e, em cada iteração, calculamos cada componente usando somente os valores da iteração anterior. Para o sistema dado, isolando cada x_i temos as fórmulas iterativas (estas são as fórmulas básicas do Jacobi para este sistema):
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2\,x_{2}^{(k)}-1\,x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-1\,x_{1}^{(k)}-1\,x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\,x_{1}^{(k)}-3\,x_{2}^{(k)}\bigr).
Aqui x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)})^{T} é o vetor na iteração k. Cada fórmula usa apenas valores da iteração anterior k — essa é a característica do Jacobi.

Passo 3

Condição de convergência (como saber se o Jacobi converge aqui).
Uma condição prática suficiente que costuma ser ensinada é a dominância diagonal estrita: para cada linha i da matriz A, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. Verificamos para cada linha do sistema:
Linha 1: |10| versus |2|+|1|=3. Como 10>3, ok.
Linha 2: |5| versus |1|+|1|=2. Como 5>2, ok.
Linha 3: |10| versus |2|+|3|=5. Como 10>5, ok.
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o Método de Jacobi converge para a solução única do sistema. Bom sinal — podemos aplicar o método com segurança.

Passo 4

Critério de parada que vou usar (explicação didática).
Vou usar o critério baseado na norma do máximo (norma infinito) da diferença entre iterações sucessivas. Ou seja, paro quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<\varepsilon.
Esse critério é simples e comum em provas: se todas as componentes mudam menos que \varepsilon, consideramos convergência numérica suficiente.

Passo 5

Preparar a iteração inicial e calcular a primeira iteração x^{(1)}.
Dado x^{(0)}=(0,7,\,-1,6,\,0,6)^{T}. Aplicando as fórmulas:
x_{1}^{(1)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,6)-0,6\bigr)=0,1(7+3,2-0,6)=0,1(9,6)=0,96.
x_{2}^{(1)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,7-0,6\bigr)=0,2(-9,3)=-1,86.
x_{3}^{(1)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,7-3(-1,6)\bigr)=0,1(6-1,4+4,8)=0,1(9,4)=0,94.
Logo
x^{(1)}=\begin{pmatrix}0,96\\[2pt]-1,86\\[2pt]0,94\end{pmatrix}.
A diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(0,26,\,0,26,\,0,34)=0,34>\varepsilon, então continuamos.]

Passo 6

Calcular x^{(2)}.
Usando x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,86)-0,94\bigr)=0,1(7+3,72-0,94)=0,1(9,78)=0,978.
x_{2}^{(2)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,96-0,94\bigr)=0,2(-9,9)=-1,98.
x_{3}^{(2)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,96-3(-1,86)\bigr)=0,1(6-1,92+5,58)=0,1(9,66)=0,966.
Logo
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0,978\\[2pt]-1,98\\[2pt]0,966\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max(0,018,\,0,12,\,0,026)=0,12>\varepsilon.]

Passo 7

Calcular x^{(3)}.
Com x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,98)-0,966\bigr)=0,1(7+3,96-0,966)=0,1(9,994)=0,9994,
x_{2}^{(3)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,978-0,966\bigr)=0,2(-9,944)=-1,9888,
x_{3}^{(3)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,978-3(-1,98)\bigr)=0,1(6-1,956+5,94)=0,1(9,984)=0,9984.
Logo
x^{(3)}=\begin{pmatrix}0,9994\\[2pt]-1,9888\\[2pt]0,9984\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max(0,0214,\,0,0088,\,0,0324)=0,0324>\varepsilon.]

Passo 8

Calcular x^{(4)}.
Com x^{(3)}:
x_{1}^{(4)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,9888)-0,9984\bigr)=0,1(7+3,9776-0,9984)=0,99792,
x_{2}^{(4)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,9994-0,9984\bigr)=0,2(-9,9978)=-1,99956,
x_{3}^{(4)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,9994-3(-1,9888)\bigr)=0,1(6-1,9988+5,9664)=0,99676.
Logo
x^{(4)}=\begin{pmatrix}0,99792\\[2pt]-1,99956\\[2pt]0,99676\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max(0,00148,\,0,01076,\,0,00164)=0,01076>\varepsilon.]

Passo 9

Calcular x^{(5)}.
Com x^{(4)}:
x_{1}^{(5)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,99956)-0,99676\bigr)=0,1(7+3,99912-0,99676)=1,000236,
x_{2}^{(5)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,99792-0,99676\bigr)=0,2(-9,99468)=-1,998936,
x_{3}^{(5)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,99792-3(-1,99956)\bigr)=0,1(6-1,99584+5,99868)=1,000284.
Logo
x^{(5)}=\begin{pmatrix}1,000236\\[2pt]-1,998936\\[2pt]1,000284\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}=\max(0,002316,\,0,000624,\,0,003524)=0,003524>\varepsilon.]

Passo 10

Calcular x^{(6)}.
Com x^{(5)}:
x_{1}^{(6)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,998936)-1,000284\bigr)=0,9997588,
x_{2}^{(6)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-1,000236-1,000284\bigr)=-2,000104,
x_{3}^{(6)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot1,000236-3(-1,998936)\bigr)=0,9996336.
Logo
x^{(6)}=\begin{pmatrix}0,9997588\\[2pt]-2,000104\\[2pt]0,9996336\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}=\max(0,0004772,\,0,001168,\,0,0006504)=0,001168>\varepsilon.]

Passo 11

Calcular x^{(7)}.
Com x^{(6)}:
x_{1}^{(7)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-2,000104)-0,9996336\bigr)=1,00005744,
x_{2}^{(7)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,9997588-0,9996336\bigr)=-1,99987848,
x_{3}^{(7)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,9997588-3(-2,000104)\bigr)=1,00007944.
Logo
x^{(7)}=\begin{pmatrix}1,00005744\\[2pt]-1,99987848\\[2pt]1,00007944\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}=\max(0,00029864,\,0,00022552,\,0,00044584)=0,00044584>\varepsilon.]

Passo 12

Calcular x^{(8)}.
Com x^{(7)}:
x_{1}^{(8)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,99987848)-1,00007944\bigr)=0,999967752,
x_{2}^{(8)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-1,00005744-1,00007944\bigr)=-2,000027376,
x_{3}^{(8)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot1,00005744-3(-1,99987848)\bigr)=0,999952056.
Logo
x^{(8)}=\begin{pmatrix}0,999967752\\[2pt]-2,000027376\\[2pt]0,999952056\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}=\max(0,000089688,\,0,000148896,\,0,000127384)=0,000148896>\varepsilon.]

Passo 13

Calcular x^{(9)}.
Com x^{(8)}:
x_{1}^{(9)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-2,000027376)-0,999952056\bigr)=1,0000102696,
x_{2}^{(9)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,999967752-0,999952056\bigr)=-1,9999839616,
x_{3}^{(9)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,999967752-3(-2,000027376)\bigr)=1,0000146624.
Logo
x^{(9)}=\begin{pmatrix}1,0000102696\\[2pt]-1,9999839616\\[2pt]1,0000146624\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}=\max(0,0000425176,\,0,0000434144,\,0,0000626064)=0,0000626064>\varepsilon.]

Passo 14

Calcular x^{(10)}.
Com x^{(9)}:
x_{1}^{(10)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-1,9999839616)-1,0000146624\bigr)=0,99999532608,
x_{2}^{(10)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-1,0000102696-1,0000146624\bigr)=-2,0000049864,
x_{3}^{(10)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot1,0000102696-3(-1,9999839616)\bigr)=0,99999313456.
Logo
x^{(10)}=\begin{pmatrix}0,99999532608\\[2pt]-2,0000049864\\[2pt]0,99999313456\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}=\max(0,00001494352,\,0,0000210248,\,0,00002152784)=0,00002152784>\varepsilon.]

Passo 15

Calcular x^{(11)} e testar parada.
Com x^{(10)}:
x_{1}^{(11)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2(-2,0000049864)-0,99999313456\bigr)=1,000001683824,
x_{2}^{(11)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-0,99999532608-0,99999313456\bigr)=-1,999997692128,
x_{3}^{(11)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0,99999532608-3(-2,0000049864)\bigr)=1,000002430704.
Logo
x^{(11)}=\begin{pmatrix}1,000001683824\\[2pt]-1,999997692128\\[2pt]1,000002430704\end{pmatrix}.
Agora a diferença entre iterações consecutivas é
\|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}=\max\bigl(|1,000001683824-0,99999532608|,\;|{-1,999997692128}-(-2,0000049864)|,\;|1,000002430704-0,99999313456|\bigr).
Calculando os módulos, obtemos aproximadamente
\|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}\approx 9,296144\times 10^{-6}.
Como 9,296144\times 10^{-6}<\varepsilon=10^{-5}, o critério de parada é satisfeito e podemos aceitar x^{(11)} como solução aproximada.]

Resposta

\displaystyle x\approx\begin{pmatrix}1,000001683824\\[2pt]-1,999997692128\\[2pt]1,000002430704\end{pmatrix}]

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