\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão - Seja o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6\end{array}\right.
Utilizando o Método de Jacobi, resolva o sistema com x^{0}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=10^{-5}
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com três equações e pede para resolvê-lo usando o Método de Jacobi, começando em [x^{0}=\left(\begin{array}{c}0,7\\\ -1,6\\\ 0,6\end{array}\right)) e parando quando a tolerância for \varepsilon=10^{-5}.
Aplicar o Método de Jacobi a partir de x^{0}\].
- Iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas (critério que usaremos abaixo) seja menor que \(\varepsilon.
- Entregar a solução aproximada final.]
Passo 2
O que é o Método de Jacobi (explicação prática e a fórmula que usaremos).
Ideia simples: isolamos cada incógnita na sua própria equação e, em cada iteração, calculamos cada componente usando somente os valores da iteração anterior. Para o sistema dado, isolando cada x_i temos as fórmulas iterativas (estas são as fórmulas básicas do Jacobi para este sistema):
Aqui x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)})^{T} é o vetor na iteração k. Cada fórmula usa apenas valores da iteração anterior k — essa é a característica do Jacobi.
Passo 3
Condição de convergência (como saber se o Jacobi converge aqui).
Uma condição prática suficiente que costuma ser ensinada é a dominância diagonal estrita: para cada linha i da matriz A, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. Verificamos para cada linha do sistema:
Linha 1: |10| versus |2|+|1|=3. Como 10>3, ok.
Linha 2: |5| versus |1|+|1|=2. Como 5>2, ok.
Linha 3: |10| versus |2|+|3|=5. Como 10>5, ok.
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o Método de Jacobi converge para a solução única do sistema. Bom sinal — podemos aplicar o método com segurança.
Passo 4
Critério de parada que vou usar (explicação didática).
Vou usar o critério baseado na norma do máximo (norma infinito) da diferença entre iterações sucessivas. Ou seja, paro quando