Qual deve ser a frequência externa \omega para causar ressonância na estrutura 3 y^{\prime \prime}+27 y=F_{0} \cos (\omega t) ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial forçada
3\,y''+27\,y=F_{0}\cos(\omega t)
e pergunta qual valor da frequência externa \omega provoca ressonância na estrutura.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente do termo y'' é 3.
  • Coeficiente do termo y é 27.
  • Força externa é F_{0}\cos(\omega t) com frequência \omega.
  • A pergunta pede o(s) valor(es) de \omega que causam ressonância (ou seja, quando a resposta do sistema tende a crescer sem limite por falta de amortecimento).

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de um oscilador harmônico forçado dividindo por 3. Isso facilita identificar a frequência natural:
y''+9y=\frac{F_{0}}{3}\cos(\omega t).
Aqui ficou explícito que o coeficiente do y na forma y''+\omega_{0}^{2}y= (força) é 9. Definimos a frequência natural \omega_{0} por
\omega_{0}^{2}=9.
Portanto
\omega_{0}=3.
Interpretação: sem força externa (lado direito zero) o sistema tem solução oscilatória com frequência natural \omega_{0}=3 (rad/s), ou seja as soluções homogêneas são combinações de \cos(3t) e \sin(3t).

Passo 3

Explico como a ressonância aparece: para um oscilador sem amortecimento, se a força externa tem a mesma frequência da frequência natural, a solução particular que tenta representar o regime permanente coincide com soluções da homogênea e o método padrão de coeficientes indeterminados falha — isso gera termos que crescem no tempo (ressonância). Para ver isso explicitamente, primeiro trato o caso não-resonante \omega\neq3.
Assuma uma solução particular do tipo
y_{p}=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
Calculando y_p'' e substituindo em y''+9y=\dfrac{F_{0}}{3}\cos(\omega t) obtemos (coeficientes de \cos e \sin):
A(9-\omega^{2})=\frac{F_{0}}{3},\qquad B(9-\omega^{2})=0.
Se \omega\neq3 (ou seja 9-\omega^{2}\neq0), então B=0 e
A=\frac{F_{0}/3}{9-\omega^{2}}=\frac{F_{0}}{3(9-\omega^{2})}.
Assim a solução particular no regime forçado é
y_{p}=\frac{F_{0}}{3(9-\omega^{2})}\cos(\omega t),\qquad(\omega\neq3).
Note que o denominador (9-\omega^{2}) controla a amplitude: quando \omega se aproxima de 3 a amplitude cresce grande.

Passo 4

Agora trato o caso ressonante \omega=3. Nesse caso a força é \dfrac{F_{0}}{3}\cos(3t) e \cos(3t) já é solução da homogênea, então precisamos multiplicar a tentativa por t. Tente
y_{p}=t\big(P\cos(3t)+Q\sin(3t)\big).
Calculando as derivadas e substituindo em y''+9y=\dfrac{F_{0}}{3}\cos(3t) (os cálculos passo a passo dão) as condições
-6P\sin(3t)+6Q\cos(3t)=\frac{F_{0}}{3}\cos(3t)
que levam a P=0 e 6Q=\dfrac{F_{0}}{3}. Assim
Q=\frac{F_{0}}{18}
e a solução particular no caso ressonante é
y_{p}=\frac{F_{0}}{18}\,t\sin(3t)\qquad(\omega=3).
Observação física: esse termo cresce linearmente com t, ou seja a amplitude aumenta sem limite enquanto não houver amortecimento — isso é a ressonância clássica.

Passo 5

Conclusão didática rápida e encorajadora: ressonância ocorre quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema. Aqui a frequência natural é \omega_{0}=3. Como não há nenhum termo de amortecimento na equação, forçar o sistema com \omega=3 produz um termo particular que cresce com o tempo (ressonância não amortecida).

Resposta

\omega=3

Exercícios relacionados