Qual deve ser a frequência externa
para causar ressonância na estrutura
?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial forçada
e pergunta qual valor da frequência externa
provoca ressonância na estrutura.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficiente do termo
é . - Coeficiente do termo
é . - Força externa é
com frequência . - A pergunta pede o(s) valor(es) de
que causam ressonância (ou seja, quando a resposta do sistema tende a crescer sem limite por falta de amortecimento).
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de um oscilador harmônico forçado dividindo por
. Isso facilita identificar a frequência natural:
Aqui ficou explícito que o coeficiente do
na forma
(força) é
. Definimos a frequência natural
por
Portanto
Interpretação: sem força externa (lado direito zero) o sistema tem solução oscilatória com frequência natural
(rad/s), ou seja as soluções homogêneas são combinações de
e
.
Passo 3
Explico como a ressonância aparece: para um oscilador sem amortecimento, se a força externa tem a mesma frequência da frequência natural, a solução particular que tenta representar o regime permanente coincide com soluções da homogênea e o método padrão de coeficientes indeterminados falha — isso gera termos que crescem no tempo (ressonância). Para ver isso explicitamente, primeiro trato o caso não-resonante
.
Assuma uma solução particular do tipo
Calculando
e substituindo em
obtemos (coeficientes de
e
):
Se
(ou seja
), então
e
Assim a solução particular no regime forçado é
Note que o denominador
controla a amplitude: quando
se aproxima de
a amplitude cresce grande.
Passo 4
Agora trato o caso ressonante
. Nesse caso a força é
e
já é solução da homogênea, então precisamos multiplicar a tentativa por
. Tente
Calculando as derivadas e substituindo em
(os cálculos passo a passo dão) as condições
que levam a
e
. Assim
e a solução particular no caso ressonante é
Observação física: esse termo cresce linearmente com
, ou seja a amplitude aumenta sem limite enquanto não houver amortecimento — isso é a ressonância clássica.
Passo 5
Conclusão didática rápida e encorajadora: ressonância ocorre quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema. Aqui a frequência natural é
. Como não há nenhum termo de amortecimento na equação, forçar o sistema com
produz um termo particular que cresce com o tempo (ressonância não amortecida).