Descreva o algoritmo para cálculo de raiz cúbica de um número
, usando o Método de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente “descrever o algoritmo para cálculo de raiz cúbica de um número
usando o Método de Newton”. Isso cai em Cálculo Numérico e, mais especificamente, em métodos iterativos para achar raízes de funções.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber o que é o Método de Newton (ou Método de Newton–Raphson).
- Derivar uma função simples para achar onde ela zera.
- Montar a iteração e pensar num critério de parada.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma o problema “quero
” em achar a raiz de uma função. A função certa é
Por quê? Se
é a raiz cúbica de
, então
, logo
. Aí sim a gente tem uma função que zera exatamente na resposta que queremos.
Passo 3
Agora, lembra do Método de Newton? Ele diz que, a partir de um chute inicial
, você faz iterações do tipo
Então precisamos da derivada de
.
Substituindo na fórmula de Newton:
Pronto, esse é o nosso passo de iteração!
Passo 4
Vamos falar de como escolher o chute inicial (
) e quando parar:
- Chute inicial (
): pode ser mesmo, ou se for grandão, até , o que for mais prático. - Critério de parada:
-
, onde é a tolerância (tipo ). - Ou
, isto é, o resíduo da função.
Quando alguma dessas condições se satisfizer, a gente para e tomacomo nossa raiz cúbica aproximada.
-
Passo 5
Montando um pseudo‐código bem de boa:
Entrada: número x, tolerância ε, chute inicial y = y0
Enquanto |y^3 - x| > ε faça:
y = (2*y + x/y^2) / 3
Fim enquanto
Saída: y // aproximação de √[3]{x}
Resposta
O algoritmo de Newton para
é:
Iterar
Iterar
até que
(ou
). A saída
será a raiz cúbica aproximada.