Descreva o algoritmo para cálculo de raiz cúbica de um número x, usando o Método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente “descrever o algoritmo para cálculo de raiz cúbica de um número usando o Método de Newton”. Isso cai em Cálculo Numérico e, mais especificamente, em métodos iterativos para achar raízes de funções.
O que vamos precisar:
  • Saber o que é o Método de Newton (ou Método de Newton–Raphson).
  • Derivar uma função simples para achar onde ela zera.
  • Montar a iteração e pensar num critério de parada.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma o problema “quero f(y) = y^3 - x ” em achar a raiz de uma função. A função certa é
Por quê? Se é a raiz cúbica de , então , logo . Aí sim a gente tem uma função que zera exatamente na resposta que queremos.

Passo 3

Agora, lembra do Método de Newton? Ele diz que, a partir de um chute inicial yn+1 = yn - f(yn)f'(yn) , você faz iterações do tipo
f'(y) = 3y^2
Então precisamos da derivada de yn+1 = yn - yn^3 - x3yn^2 = yn - 13l(yn - xyn^2r) = 2yn + xyn^23 .
Substituindo na fórmula de Newton:
Pronto, esse é o nosso passo de iteração!

Passo 4

Vamos falar de como escolher o chute inicial ( ) e quando parar:
  • Chute inicial ( ): pode ser mesmo, ou se for grandão, até , o que for mais prático.
  • Critério de parada:
    1. , onde é a tolerância (tipo ).
    2. Ou , isto é, o resíduo da função.
      Quando alguma dessas condições se satisfizer, a gente para e toma como nossa raiz cúbica aproximada.

Passo 5

Montando um pseudo‐código bem de boa:
Entrada: número x, tolerância ε, chute inicial y = y0
Enquanto |y^3 - x| > ε faça:
    y = (2*y + x/y^2) / 3
Fim enquanto
Saída: y  // aproximação de √[3]{x}

Resposta

O algoritmo de Newton para yn+1 = 2,yn + dfracxyn^23 é:
Iterar
até que (ou ). A saída será a raiz cúbica aproximada.

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