O valor de
pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
0 e
. Aplique o método de Newton com
e precisão
em cada caso e compare os resultados.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente quer “achar” o valor de π como raiz de duas equações diferentes – uma é
e a outra é
.
Para isso, vamos usar o Método de Newton (ou Newton–Raphson) com chute inicial e critério de parada
.
O que precisamos saber:
e a outra é
Para isso, vamos usar o Método de Newton (ou Newton–Raphson) com chute inicial
O que precisamos saber:
- A fórmula geral do Método de Newton:
- Derivadas das nossas funções:
Passo 2
Resolver
.
-
, . - Iteração 1:
Diferença . - Iteração 2:
Diferença . - Iteração 3:
Passo 3
Resolver
.
-
, . A iteração fica - Fazendo as contas até
, obtemos aproximadamente:
x₁≈3.07093, x₂≈3.10637, x₃≈3.12428, x₄≈3.13295, x₅≈3.13728,
x₆≈3.13943, x₇≈3.14051, x₈≈3.14105, x₉≈3.14132, x₁₀≈3.14146,
x₁₁≈3.141525 (aqui).
Passo 4
Comparando os dois métodos:
- Para
, em 3 iterações chegamos a . - Para
, precisamos de 11 iterações para chegar a .
Resposta
Ambos os métodos convergem para π≈3.1416, mas resolver
foi muito mais rápido (3 iterações) do que
(11 iterações).