O valor de pi pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: sen(x)= 0 e cos (x)+1=0. Aplique o método de Newton com x0=3 e precisão 10^-4 em cada caso e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente quer “achar” o valor de π como raiz de duas equações diferentes – uma é
xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn)
e a outra é
f1(x)=sin x, f1'(x)=cos x; f2(x)=cos x+1, f2'(x)=-sin x .
Para isso, vamos usar o Método de Newton (ou Newton–Raphson) com chute inicial e critério de parada .
O que precisamos saber:
  • A fórmula geral do Método de Newton:
  • Derivadas das nossas funções:

Passo 2

Resolver x1 = 3 ;-;sin(3)cos(3) approx 3 - 0.14112-0.98999 = 3.14255 .
  1. x2 = x1 - sin(3.14255)cos(3.14255) approx 3.14255 - -0.0009539-0.9999995 = 3.1415927 , x3 = x2 - sin(3.1415927)cos(3.1415927) approx 3.14159265 (já dá diferença <10^-4) .
  2. Iteração 1: Diferença .
  3. Iteração 2: Diferença .
  4. Iteração 3: ááç

Passo 3

Resolver xn+1 = xn + cos(xn)+1sin(xn) .
  1. , . A iteração fica
  2. Fazendo as contas até , obtemos aproximadamente:
    x₁≈3.07093, x₂≈3.10637, x₃≈3.12428, x₄≈3.13295, x₅≈3.13728,
    x₆≈3.13943, x₇≈3.14051, x₈≈3.14105, x₉≈3.14132, x₁₀≈3.14146,
    x₁₁≈3.141525 (aqui ).

Passo 4

Comparando os dois métodos:
  • Para , em 3 iterações chegamos a .
  • Para , precisamos de 11 iterações para chegar a .

Resposta

Ambos os métodos convergem para π≈3.1416, mas resolver foi muito mais rápido (3 iterações) do que (11 iterações).

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