Uma das dificuldades do método de Newton é o fato de uma aproximação
ser tal que
. Uma modificação do algoritmo original para prever estes casos consiste em: dado
um número positivo próximo de zero e supondo
, a sequência
é gerada através de:
onde
onde
é a última aproximação obtida tal que
.
Pede-se:
aplique este método à resolução da equação
0.05 e
.
Pede-se:
aplique este método à resolução da equação
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é aplicar a versão “modificada” do método de Newton pra achar uma raiz da equação
com palpite inicial
, tolerância
e limiar
.
Conteúdo: método de Newton (iterativo), mas se a derivada ficar pequena ( ) a gente “congela” o divisor usando a última derivada grande suficiente.
O que vamos precisar:
Conteúdo: método de Newton (iterativo), mas se a derivada ficar pequena (
O que vamos precisar:
- definir
e , - iterar
onde
- parar quando
.
Passo 2
Definindo as funções:
No início temos
, que em módulo é maior que
. Logo
.
Passo 3
Iteração 1 (k=0→1):
Diferença
, continua.
Passo 4
Iteração 2 (k=1→2):
Calculamos , então
.
Calculamos
Diferença enorme, continua.
Passo 5
Algumas iterações seguintes (sempre
grande, logo método normal de Newton):
k=2→3:
k=3→4:
k=4→5:
k=5→6:
k=6→7:
k=7→8:
k=8→9:
k=9→10:
k=10→11:
k=11→12:
k=12→13:
k=13→14:
k=14→15:
k=15→16:
k=2→3:
k=3→4:
k=4→5:
k=5→6:
k=6→7:
k=7→8:
k=8→9:
k=9→10:
k=10→11:
k=11→12:
k=12→13:
k=13→14:
k=14→15:
k=15→16:
Na iteração 15→16 já deu
ainda não. Mas na iteração seguinte (16→17) a diferença cai abaixo de 0.05.
Resposta
Aproximando até que
, a raiz que o método encontra é