Uma das dificuldades do método de Newton é o fato de uma aproximação xk ser tal que f^prime(xk)=0. Uma modificação do algoritmo original para prever estes casos consiste em: dado lambda um número positivo próximo de zero e supondo f^prime(x0) >= lambda, a sequência xk é gerada através de:
xk+1=xk-f(xk) / F L, k=0,1,2, cdots
onde
F L= f^prime(xk), & se |f^prime(xk)|>lambda f^prime(xw), & caso contrário á
onde xw é a última aproximação obtida tal que f^prime(xw) mid >= lambda.
Pede-se:
aplique este método à resolução da equação x^3-9 x+3=0, com x0=-1.275, lambda= 0.05 e varepsilon=0.05.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é aplicar a versão “modificada” do método de Newton pra achar uma raiz da equação
x^3 - 9x + 3 = 0
com palpite inicial xk+1 = xk - f(xk)FLk, , tolerância FLk = f'(xk),& |f'(xk)|>lambda, f'(xw),& caso contrário, com (xw) ú e limiar .
Conteúdo: método de Newton (iterativo), mas se a derivada ficar pequena ( ) a gente “congela” o divisor usando a última derivada grande suficiente.
O que vamos precisar:
  1. definir e ,
  2. iterar
onde
áúá
  1. parar quando .

Passo 2

Definindo as funções:
f(x) = x^3 - 9x + 3, f'(x) = 3x^2 - 9
No início temos , que em módulo é maior que . Logo .

Passo 3

Iteração 1 (k=0→1):
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = -1.275 ;-;(-1.275)^3 -9(-1.275)+3-4.1203 approx 1.7369
Diferença , continua.

Passo 4

Iteração 2 (k=1→2):
Calculamos x2 = 1.7369 - f(1.7369)0.0534 approx 140.167 , então .
Diferença enorme, continua.

Passo 5

Algumas iterações seguintes (sempre |x16-x15|approx|2.709-2.767|=0.058>0.05, grande, logo método normal de Newton):
k=2→3:
k=3→4:
k=4→5:
k=5→6:
k=6→7:
k=7→8:
k=8→9:
k=9→10:
k=10→11:
k=11→12:
k=12→13:
k=13→14:
k=14→15:
k=15→16:
Na iteração 15→16 já deu
ainda não. Mas na iteração seguinte (16→17) a diferença cai abaixo de 0.05.

Resposta

Aproximando até que xapprox 2.71 , a raiz que o método encontra é

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