Descreva o conceito de:
Um grupo G.

Passo 1

O enunciado pede uma definição formal de um grupo G. O conteúdo é teoria de grupos, e para isso precisamos entender uma estrutura algébrica composta por um conjunto e uma operação interna que satisfaça certos axiomas.

Passo 2

Definimos um grupo como um par (G,ast), em que G é um conjunto não vazio e
ast : G times G to G
é uma operação binária interna, ou seja, combina dois elementos de G e retorna outro elemento em G.

Passo 3

Fechamento. Para quaisquer a,b in G, o resultado da operação está em G:
a ast b in G

Passo 4

Associatividade. Para quaisquer a,b,c in G, a operação satisfaz
(a ast b)ast c ;=; a ast (b ast c)

Passo 5

Elemento neutro. Existe ein G tal que, para todo ain G,
e ast a = a e a ast e = a

Passo 6

Inverso. Para cada ain G existe um elemento a^-1in G que satisfaz
a ast a^-1 = e e a^-1ast a = e

Passo 7

Se além desses quatro axiomas ainda vale
a ast b = b ast a forall,a,bin G,
então o grupo é chamado de abeliano (ou comutativo). Exemplos clássicos são Z com a operação de adição e R^times (reais não nulos) com a multiplicação.

Resposta

Um grupo G é a estrutura algébrica (G,ast) em que G é um conjunto não vazio e ast é uma operação interna que satisfaz:
&(Fechamento) aast bin G, &(Associatividade) (aast b)ast c = aast(bast c), &(Neutro) exists,ein G:;east a = aast e = a, &(Inverso) forall,ain G,;exists,a^-1in G:;aast a^-1 = a^-1ast a = e

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