Descreva o conceito de:
Um Subgrupo H de G.
Um Subgrupo H de G.
Passo 1
O enunciado pede o conceito de subgrupo. O conteúdo é Teoria de Grupos e, para dar a definição, vamos precisar recordar o que é um grupo e depois estabelecer as condições que um subconjunto deve satisfazer para ser um subgrupo.
Passo 2
Recordando o que é um grupo: seja
um conjunto
munido de uma operação binária
. Dizemos que
é um grupo se valem:
. Associatividade: para todos
,
.
. Existência de elemento neutro
tal que
para todo
.
. Inversos: para cada
existe
tal que
.
Passo 3
Agora, seja
. Para que
seja um subgrupo de
, basta que
satisfaça os mesmos axiomas de grupo usando a operação herdada de
. Em geral verifica-se o seguinte critério prático:
para todos
temos
e para todo
Passo 4
Não é preciso checar novamente associatividade nem a existência de neutro dentro de
, porque esses fatos são herdados de
. Portanto, mostrar que
é não vazio, fechado sob
e fechado sob inversos já garante que
é um grupo.
Resposta
Seja
um grupo e
. Dizemos que
é subgrupo de
se
for também um grupo, ou seja, se: