Descreva o conceito de:
Um Subgrupo H de G.

Passo 1

O enunciado pede o conceito de subgrupo. O conteúdo é Teoria de Grupos e, para dar a definição, vamos precisar recordar o que é um grupo e depois estabelecer as condições que um subconjunto deve satisfazer para ser um subgrupo.

Passo 2

Recordando o que é um grupo: seja (G,ast) um conjunto G munido de uma operação binária ast. Dizemos que (G,ast) é um grupo se valem:
1. Associatividade: para todos x,y,zin G, (xast y)ast z = xast (yast z).
2. Existência de elemento neutro ein G tal que east x = xast e = x para todo xin G.
3. Inversos: para cada xin G existe x^-1in G tal que xast x^-1 = x^-1ast x = e.

Passo 3

Agora, seja Hsubseteq G. Para que H seja um subgrupo de G, basta que (H,ast) satisfaça os mesmos axiomas de grupo usando a operação herdada de G. Em geral verifica-se o seguinte critério prático:
Hneqemptyset,
para todos a,bin H temos
;aast bin H(fechamento),
e para todo ain H
;a^-1in H(inverso)

Passo 4

Não é preciso checar novamente associatividade nem a existência de neutro dentro de H, porque esses fatos são herdados de G. Portanto, mostrar que H é não vazio, fechado sob ast e fechado sob inversos já garante que (H,ast) é um grupo.

Resposta

Seja (G,ast) um grupo e Hsubseteq G. Dizemos que H é subgrupo de G se (H,ast) for também um grupo, ou seja, se:
Hneqemptyset, forall,a,bin H:,aast bin H, forall,ain H:,a^-1in H

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