Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 2 x2+x3=1 3 x1+4 x3=3 4 x1+x2=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
usando decomposição LU. Precisamos escrever o sistema na forma
em que
Como , faremos pivoteamento trocando as linhas 1 e 2, ou seja, aplicamos uma matriz de permutação tal que tenha pivô não nulo em .

Passo 2

Aplicando o pivoteamento de linhas 1 e 2 definimos
P = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , PA = 3 & 0 & 4 0 & 2 & 1 4 & 1 & 0 , Pb = 315
Agora podemos usar o método de Doolittle para escrever
PA = LU,
onde L tem 1 na diagonal principal e U é triangular superior.

Passo 3

Para encontrar L e U, procedemos coluna a coluna:
  1. Primeiro pivô u11=3. Os multiplicadores da coluna 1 são ell21 = 03=0, ell31 = 43 Eliminando o elemento (3,1) em PA atualizamos a terceira linha: linha3 linha3 - ell31,linha1 implies (0,;1,;-16/3)
  2. Segundo pivô u22=2. O multiplicador ell32 sobre o elemento (3,2) é ell32 = 12 Eliminando obtemos na terceira linha: (0,;0,;-35/6)
Assim
L = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 43 & tfrac12 & 1 , U = 3 & 0 & 4 0 & 2 & 1 0 & 0 & -tfrac356

Passo 4

Resolvemos primeiro Ly = Pb por substituição direta:
y1 = 3, y2 = 1 - 0cdot y1 = 1, y3 = 5 - 43y1 - 12 y2 = 5 - 43cdot3 - 12cdot1 = tfrac12

Passo 5

Em seguida, resolvemos Ux = y por substituição regressiva:
-tfrac356,x3 = tfrac12 implies x3 = -tfrac335, 2,x2 + x3 = 1 implies 2,x2 = 1 + tfrac335 = tfrac3835 implies x2 = tfrac1935, 3,x1 + 4,x3 = 3 implies 3,x1 = 3 - 4l(-tfrac335r) = tfrac11735 implies x1 = tfrac3935

Resposta

x1 = tfrac3935, x2 = tfrac1935, x3 = -tfrac335

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