Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 18 x1-4 x2+6 x3+4 x4=109 -2 x1-8 x2+2 x3-3 x4=14 -6 x1+4 x2+22 x3-8 x4=25 2 x1-3 x2-2 x3-10 x4=21

Passo 1

Temos o sistema
18x1-4x2+6x3+4x4=109, -2x1-8x2+2x3-3x4=14, -6x1+4x2+22x3-8x4=25, 2x1-3x2-2x3-10x4=21
Vamos usar o método de decomposição LU na forma de Doolittle (L com diagonal 1) para escrever A=LU, depois resolver Ly=b (substituição para frente) e Ux=y (substituição para trás).

Passo 2

  1. Definimos
A= 18 & -4 & 6 & 4 -2 & -8 & 2 & -3 -6 & 4 & 22 & -8 2 & -3 & -2 & -10 , b=109142521
  1. Pelo método de Doolittle, u11=18.
    Para i=2,3,4 calculamos li1=ai1/u11:
    ;l21=-tfrac218=-tfrac19,;l31=-tfrac618=-tfrac13,;l41=tfrac218=tfrac19
  2. Entradas de U na linha 1:
    u12=a12=-4,;u13=6,;u14=4
  3. Agora u22=a22-l21u12=-8-l(-tfrac19cdot(-4)r)=-tfrac769,
u23=a23-l21u13=2-l(-tfrac19cdot6r)=tfrac83, u24=a24-l21u14=-3-l(-tfrac19cdot4r)=-tfrac239
  1. Para i=3,4 achamos l32=a32-l31u12u22 =4-l(-tfrac13cdot(-4)r)-76/9 =-tfrac619, l42=a42-l41u12u22 =-3-l(tfrac19cdot(-4)r)-76/9 =tfrac2376
  2. Em seguida u33 =a33-l31u13-l32u23 =22-(-tfrac13cdot6)-l(-tfrac619cdottfrac83r) =47219,
u34 =a34-l31u14-l32u24 =-8-(-tfrac13cdot4)-l(-tfrac619cdot(-tfrac239)r) =-tfrac14219
  1. Por fim l43 =a43-l41u13-l42u23u33 =-tfrac33236, u44 =a44-l41u14-l42u24-l43u34 =-tfrac2529236
Ficamos então com
L= 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac19 & 1 & 0 & 0 -tfrac13 & -tfrac619 & 1 & 0 tfrac19 & tfrac2376 & -tfrac33236 & 1 , U= 18 & -4 & 6 & 4 0 & -tfrac769 & tfrac83 & -tfrac239 0 & 0 & tfrac47219 & -tfrac14219 0 & 0 & 0 & -tfrac2529236

Passo 3

Resolvendo Ly=b por substituição para frente:
y1=109,
y2=14 - l21y1 =14 -l(-tfrac19cdot109r) =tfrac2359,
y3 =25 -l31y1-l32y2 =25 -l(-tfrac13cdot109r)-l(-tfrac619cdottfrac2359r) =132219,
y4 =21 -l41y1-l42y2-l43y3 =21 -tfrac19cdot109 -tfrac2376cdottfrac2359 -l(-tfrac33236cdottfrac132219r) =tfrac2529236

Passo 4

Resolvendo Ux=y por substituição para trás:
  1. Da quarta equação -tfrac2529236x4=tfrac2529236 Longrightarrow x4=-1
  2. Da terceira tfrac47219x3-tfrac14219x4=tfrac132219 ;Longrightarrow; tfrac47219x3+tfrac14219=tfrac132219 ;Longrightarrow; x3=tfrac1180472=tfrac52
  3. Da segunda -tfrac769x2+tfrac83x3-tfrac239x4=tfrac2359 ;Longrightarrow; -tfrac769x2+tfrac203+tfrac239=tfrac2359 ;Longrightarrow; x2=-2
  4. Da primeira 18x1-4x2+6x3+4x4=109 ;Longrightarrow; 18x1+8+15-4=109 ;Longrightarrow; x1=5

Resposta

x1=5, x2=-2, x3=tfrac52, x4=-1

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