Descreva o conceito de:
Um Homomorfismo de Grupo.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o conceito de um homomorfismo de grupo. Estamos em teoria de grupos (álgebra abstrata) e precisamos lembrar o que é um grupo e como se define uma aplicação que preserve sua estrutura.

Passo 2

Um grupo consiste num conjunto G equipado com uma operação binária “ cdot” (ou simplesmente escrita por justaposição) tal que valem os axiomas:
  1. Fechamento: para todo x,yin G, o produto xcdot yin G.
  2. Associatividade: para todo x,y,zin G, (xcdot y)cdot z = xcdot (ycdot z).
  3. Elemento neutro: existe eGin G com eGcdot x = xcdot eG = x para todo x.
  4. Inverso: para cada xin G existe x^-1in G tal que xcdot x^-1 = x^-1cdot x = eG.

Passo 3

Uma aplicação
f: G ;longrightarrow; H
entre dois grupos (G,cdot) e (H,*) é chamada de homomorfismo de grupo se ela respeita a operação, ou seja, para todos x,yin G vale
f(x cdot y) ;=; f(x);*;f(y)

Passo 4

Dessa definição seguem-se imediatamente duas propriedades importantes:
  • f envia o neutro de G no neutro de H: f(eG) = eH
  • f envia inversos em inversos: f(x^-1) = f(x)^-1

Passo 5

Do homomorfismo sobraram ainda dois subgrupos notáveis em G e H:
  • Núcleo ( ker f): ,xin G mid f(x)=eH, mede “quanta informação” é colapsada.
  • Imagem ( Im,f): ,f(x)in H mid xin G, é o subgrupo de valores atingidos em H.

Resposta

Um homomorfismo de grupo é uma função fcolon Gto H entre grupos que preserva a operação, isto é, satisfaz
forall,x,yin G: f(xcdot y)=f(x),*,f(y)
Isso garante que f(eG)=eH e f(x^-1)=f(x)^-1, e a partir dele definem-se o núcleo e a imagem de f.

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