Descreva o conceito de:
Um Homomorfismo de Grupo.
Um Homomorfismo de Grupo.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o conceito de um homomorfismo de grupo. Estamos em teoria de grupos (álgebra abstrata) e precisamos lembrar o que é um grupo e como se define uma aplicação que preserve sua estrutura.
Passo 2
Um grupo consiste num conjunto
equipado com uma operação binária “
” (ou simplesmente escrita por justaposição) tal que valem os axiomas:
- Fechamento: para todo
, o produto . - Associatividade: para todo
, . - Elemento neutro: existe
com para todo . - Inverso: para cada
existe tal que .
Passo 3
Uma aplicação
entre dois grupos
e
é chamada de homomorfismo de grupo se ela respeita a operação, ou seja, para todos
vale
Passo 4
Dessa definição seguem-se imediatamente duas propriedades importantes:
-
envia o neutro de no neutro de : -
envia inversos em inversos:
Passo 5
Do homomorfismo sobraram ainda dois subgrupos notáveis em
e
:
- Núcleo (
): , mede “quanta informação” é colapsada. - Imagem (
): , é o subgrupo de valores atingidos em .
Resposta
Um homomorfismo de grupo é uma função
entre grupos que preserva a operação, isto é, satisfaz
Isso garante que
e
, e a partir dele definem-se o núcleo e a imagem de
.