Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método de Newton-Raphson
Método de Newton-Raphson
Passo 1
O enunciado pede uma descrição geométrica do método de Newton–Raphson para achar raízes de uma função
. O conteúdo é métodos iterativos de aproximação de zeros de
, e vamos usar o conceito de reta tangente e linearização da função em um ponto inicial.
Passo 2
Considere o gráfico da função
e seja
a raiz buscada, isto é,
. Geometricamente, queremos aproximar o ponto
partindo de um palpite inicial
, desenhando o ponto
sobre a curva.
Em traçamos a reta tangente à curva. A equação dessa reta, linearização de
em
, é
Em
Passo 3
O próximo palpite
vem da intersecção dessa reta com o eixo
. Para isso, impomos
, o que dá
Geometricamente, é o ponto onde a tangente atinge o eixo horizontal.
Passo 4
Repetimos o procedimento: a cada iteração usamos
, traçamos a tangente em
e definimos
como a intersecção com o eixo
. Se
for suave e o palpite inicial estiver suficientemente próximo de
, as tangentes levam rapidamente à raiz.
Resposta
Geometricamente, o método de Newton–Raphson aproxima a raiz de
projetando repetidamente o ponto
na curva sobre o eixo
por meio da reta tangente em cada iteração.