Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método de Newton-Raphson

Passo 1

O enunciado pede uma descrição geométrica do método de Newton–Raphson para achar raízes de uma função f. O conteúdo é métodos iterativos de aproximação de zeros de f, e vamos usar o conceito de reta tangente e linearização da função em um ponto inicial.

Passo 2

Considere o gráfico da função y=f(x) e seja alpha a raiz buscada, isto é, f(alpha)=0. Geometricamente, queremos aproximar o ponto (alpha,0) partindo de um palpite inicial x0, desenhando o ponto l(x0,f(x0)r) sobre a curva.
Em l(x0,f(x0)r) traçamos a reta tangente à curva. A equação dessa reta, linearização de f em x0, é
T(x)=f(x0)+f'(x0),(x-x0)

Passo 3

O próximo palpite x1 vem da intersecção dessa reta com o eixo x. Para isso, impomos T(x1)=0, o que dá
0 = f(x0)+f'(x0),(x1-x0) Longrightarrow x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Geometricamente, é o ponto onde a tangente atinge o eixo horizontal.

Passo 4

Repetimos o procedimento: a cada iteração usamos xn+1=xn - f(xn)/f'(xn), traçamos a tangente em l(xn,f(xn)r) e definimos xn+1 como a intersecção com o eixo x. Se f for suave e o palpite inicial estiver suficientemente próximo de alpha, as tangentes levam rapidamente à raiz.

Resposta

Geometricamente, o método de Newton–Raphson aproxima a raiz de f projetando repetidamente o ponto l(xn,f(xn)r) na curva sobre o eixo x por meio da reta tangente em cada iteração.

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